迟到的主角——集合论的产生是有理数多，还是实数多？是直线上的点多，还是平面上的点多？亲爱的读者，你想过上面的问题吗？为了回答这些问题，我们有必要了解一下集合的概念了解一下十九世纪著名数学家康托尔在100年前完成的一些工作，从中了解集合论发展的一些情况，了解康托尔是如何回答上面提出的问题的。我们知道角的平分线是所有到角的两边距离相等的点的集合；线段的垂直平分线是所有到这条线段的两端距离相等的点的集合；圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合。什么是集合？集合和几何中的点、线、平面一样，是一种最原始、最基本的数学概念。可是，它迟到了几千年。直到十九世纪下半叶，德国数学家康托尔在研究实数理论的过程中，才形成了世界上第一套集合理论，集合才慢慢进入角色。集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论。什么是集合，本来有一个定义意思是说，“把一些确定的可以区别的对象汇集在一起，形成一个整体，这个整体就是一个集合。”既然是“确定的”、“可以区别的”，那么任意一个对象，你应该能够判断它是否属于给定的集合。后来因为罗素的“理发师悖论”给任何集合的定义致命一击，使得任何人都不敢给集合下一个严格的定义，因此，集合就象平面几何中的点、线、平面一样不给它们作严格的定义了。早在集合论创立之前两千多年，数学家和哲学家们就已经接触到了大量有关无穷的问题。古希腊的学者最先注意并考察了它们。在数理哲学中，有两种无穷方式历来为数学家和哲学家所关注，一种是无穷过程，称为潜在无穷，一种是无穷整体，称为实在无穷。希腊哲学家亚里士多德最先提出要把潜在的无穷和实在的无穷加以区别，这种思想在当今仍有重要意义。亚里士多德认为只存在潜在无穷，对他来说，无穷集合是不存在的。到了中世纪，随着无穷集合的不断出现，部分能够同整体构成一一对应这个事实也就越来越明显地暴露出来。近代科学的开拓者伽利略注意到：两个不等长的线段上的点可以构成一一对应。他又注意到：正整数与它们的平方可以构成一一对应，这说明无穷大有不同的“数量级”，不过伽利略认为这是不可能的。他认为，所有无穷大量都一样，不能比较大小。到了十七世纪，数学家把无穷小量引进数学，构成所谓“无穷小演算”，这就是微积分的最早名称。由于无穷小量运算的引进，无穷进入数学，虽然它给数学带来前所未有的繁荣和进步，它的基础及其合法性仍然受到许多数学家的质疑，一批以高斯为代表的数学家对无穷心存疑虑。高斯是一个潜在无穷论者，他在1831年7月12日给他的朋友舒马赫尔的信中说“我必须最最强烈地反对你把无穷作为一个完成的东西来使用，因为这在数学中是从来不允许的。无穷只不过是一种谈话方式，它是指一种极限，某些比值可以任意地逼近它，而另一些则容许没有限制地增加。”科学家们接触到无穷，却又无力去把握和认识它，这的确是向人类提出的尖锐挑战。面对“无穷”的长期挑战，数学家们不会无动于衷，他们为解决无穷问题进行着不懈的努力。第一个为了建立集合的明确理论而作出积极努力的波尔查诺也是一位探索实在无穷的先驱，他明确谈到实在无穷集合的存在，强调两个集合等价的概念，也就是后来的一一对应的概念。他认为必须接受无穷集合的一个部分或子集可以等价于其整体这个事实。为此，他为无穷集合指定超限数，使不同的无穷集合，超限数不同。不过，后来康托尔指出，波尔查诺指定无穷集合的超限数的具体方法是错误的。波尔查诺还提出了一些集合的性质，并将他们视为悖论。因此，他关于无穷研究的哲学意义大于数学意义。应该说，波尔查诺是康托尔集合论的先驱。黎曼在1854年的就职论文《关于用三角级数表示函数的可能性》中提出“唯一性问题”。康托尔就是通过对唯一性问题的研究，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究的。从1879年到1883年，康托尔写了六篇系列论文，论文总题目是“论无穷线形点流形”，其中前四篇同以前的论文类似，讨论了集合论的一些数学成果，特别是涉及集合论在分析上的一些有趣的应用。第五篇论文后来以单行本出版，单行本的书名是《一般集合论基础》，第六篇论文是对第五篇的补充。《一...
