菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）利用空间向量法求直线与平面所成的角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）(2013·潮州模拟)如图1，在多面体ABC—A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝2AB，B1C1綊12BC，二面角A1—AB—C是直二面角．(1)求证：A1B1⊥平面AA1C；(2)求证：AB1∥平面A1C1C；(3)求BC与平面A1C1C所成角的正弦值．【思路点拨】(1)利用勾股定理证明AB⊥AC；(2)构造过AB1的平面，并证明其平行于平面A1C1C.(3)证明直线AA1，AC，AB两两垂直，从而以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面A1C1C的法向量，用向量法求解．图1菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）【规范解答】(1)因为AB＝AC，BC＝2AB，所以AB2＋AC2＝BC2，所以AB⊥AC，又因为四边形A1ABB1是正方形，所以AB⊥AA1，又因为AA1∩AC＝A，所以AB⊥平面AA1C.易知AB∥A1B1，所以A1B1⊥平面AA1C.(2)取BC的中点D，连接AD，B1D，C1D.因为B1C1綊12BC，所以B1C1DB是平行四边形，故C1D綊B1B，菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）又A1A綊B1B，所以A1A綊C1D，所以A1ADC1是平行四边形，所以A1C1∥AD，所以AD∥平面A1C1C，同理，B1D∥平面A1C1C；又因为B1D∩AD＝D，所以平面ADB1∥平面A1C1C，所以AB1∥平面A1C1C.(3)由(1)知AB⊥平面AA1C，又二面角A1—AB—C是直二面角，菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）可知AA1，AC，AB两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则A(0，0，0)，B(0，2，0)，A1(0，0，2)，C(2，0，0)，C1(1，1，2)，所以A1C1→＝(1，1，0)，A1C→＝(2，0，－2)．设平面A1C1C的一个法向量为m＝(x，y，1)，由A1C1→·m＝0A1C→·m＝0，得m＝(1，－1，1)，又CB→＝(－2，2，0)，菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）【反思启迪】1.求直线和平面所成的角也有传统法和向量法两种．传统法关键是找斜线在平面内的射影，从而找出线面角；向量法则可建立坐标系，利用向量的运算求解．用向量法可避开找角的困难，但计算较繁，所以要注意计算上不要失误．2．角的计算与度量总要进行转化，这体现了转化的思想，主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角．所以cos〈m，CB→〉＝m·CB→|m|·|CB→|＝－63，故BC与平面A1C1C所成角的正弦值为63.菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）【解】(1)证明 AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD.在正方形ABCD中，CD⊥AD，(2013·珠海模拟)如图2，正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于AD，AE⊥平面CDE.(1)求证：AB⊥平面ADE；(2)在线段BE上存在点M，使得直线AM与平面EAD所成角的正弦值为63，试确定点M的位置．图2菜单菜单新课标·理科数学（广东专用） AD∩AE＝A，∴CD⊥平面ADE. AB∥CD，∴AB⊥平面ADE.(2)由(1)知平面EAD⊥平面ABCD，取AD中点O，连接EO， EA＝ED，∴EO⊥AD，∴EO⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，E(0，0，1)，设M(x，y，z)，菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）∴BM→＝(x－1，y－2，z)，BE→＝(－1，－2，1)， B，M，E三点共线，∴BM→＝λBE→，∴M(1－λ，2－2λ，λ)，∴AM→＝(－λ，2－2λ，λ)．设AM与平面AED所成的角为θ， 平面AED的法向量n＝(0，1，0)，∴sinθ＝|cos〈AM→，n〉|＝|2－2λ|6λ2－8λ＋4＝63，解得λ＝12.即M为BE的中点.菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）利用空间向量法求二面角的方法：(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．(2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择适当的方法解题．菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）(2013·济佛山拟)如图3，在四棱锥S—ABCD中，平面SAD⊥平面A...
