特征方程法求解递推关系中的数列通项62369VIP免费

云南省2010届高三二轮复习数学专题教案（四十六）特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式。采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即；，其中是以为公比的等比数列，即.证明：因为由特征方程得作换元则当时，，数列是以为公比的等比数列，故当时，，为0数列，故（证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.例1．已知数列满足：求解：作方程当时，数列是以为公比的等比数列.于是例2．已知数列满足递推关系：其中为虚数单位。当取何值时，数列是常数数列？解：作方程则要使为常数，即则必须二、（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。例3：已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数——迭加法）由，得，且。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得，，，。把以上各式相加，得。。解法二（特征根法）：数列：，的特征方程是：。,。又由，于是故三、(分式递推式)定理3：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有hraqpaannn1（其中p、q、r、h均为常数，且rharqrph1,0,），那么，可作特征方程hrxqpxx.（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，若,1a则;N,nan若1a，则,N,1nbann其中.N,)1(11nrprnabn特别地，当存在,N0n使00nb时，无穷数列}{na不存在.（2）当特征方程有两个相异的根1、2（称作特征根）时，则112nnncca，,Nn其中).(,N,)(211212111anrprpaacnn其中例3、已知数列}{na满足性质：对于,324,N1nnnaaan且,31a求}{na的通项公式.解:依定理作特征方程,324xxx变形得,04222xx其根为.2,121故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有.N,)221211(2313)(11212111nrprpaacnnn∴.N,)51(521ncnn∴.N,1)51(521)51(52211112nccannnnn即.N,)5(24)5(nannn例5．已知数列}{na满足：对于,Nn都有.325131nnnaaa（1）若,51a求;na（2）若,31a求;na（3）若,61a求;na（4）当1a取哪些值时，无穷数列}{na不存在？解：作特征方程.32513xxx变形得,025102xx特征方程有两个相同的特征根.5依定理2的第（1）部分解答.(1) .,511aa对于,Nn都有;5na(2) .,311aa∴rprnabn)1(1151131)1(531n,8121n令0nb，得5n.故数列}{na从第5项开始都不存在，当n≤4，Nn时，51751nnbann.(3) ,5,61a∴.1a∴.,811)1(11Nnnrprnabn令,0nb则.7nn∴对于.0bN,nn∴.N,7435581111nnnnbann(4)、显然当31a时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，51a时，数列}{na是存在的，当51a时，则有.N,8151)1(111nnarprnabn令,0nb则得N,11351nnna且n≥2.∴当11351nna（其中Nn且N≥2）时，数列}{na从第n项开始便不存在.于是知：当1a在集合3{或,:1135Nnnn且n≥2}上取值时，无穷数列}{na都不存在.练习题：求下列数列的通项公式：在数列}{na中，,7,121aa)3(3221naaannn，求na。（key：21)1(32nnna）在数列}{na中，,5,121aa且2145nnnaaa，求na。（key：)14(31nna...