专题突破（一）VIP专享VIP免费

菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）利用导数研究函数的单调性是高考的热点，多与一元二次不等式相联系，根据导数与函数单调性的关系，研究函数的单调性，实际上就是讨论导函数f′(x)的函数值正负的问题．菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）(2013·广州质检)已知函数f(x)＝x2e－ax，a∈R.(1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程．(2)讨论f(x)的单调性．【思路点拨】(1)先求切点和斜率，再求切线方程；(2)先求f′(x)，然后分a＝0，a＞0，a＜0三种情况求解．菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）【规范解答】(1)因为当a＝1时，f(x)＝x2e－x，f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝(2x－x2)e－x，所以f(－1)＝e，f′(－1)＝－3e.从而y＝f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线方程为y－e＝－3e(x＋1)，即y＝－3ex－2e.(2)f′(x)＝2xe－ax－ax2e－ax＝(2x－ax2)e－ax.①当a＝0时，若x＜0，则f′(x)＜0，若x＞0，则f′(x)＞0.所以当a＝0时，函数f(x)在区间(－∞，0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数．②当a＞0时，由2x－ax2＜0，解得x＜0或x＞2a，菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）由2x－ax2＞0，解得0＜x＜2a.所以当a＞0时，函数f(x)在区间(－∞，0)，(2a，＋∞)上为减函数，在区间(0，2a)上为增函数．③当a＜0时，由2x－ax2＜0，解得2a＜x＜0，由2x－ax2＞0，解得x＜2a或x＞0.所以，当a＜0时，函数f(x)在区间(－∞，2a)，(0，＋∞)上为增函数，在区间(2a，0)上为减函数．菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）综上所述，当a＝0时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在(－∞，0)，(2a，＋∞)上单调递减，在(0，2a)上单调递增；当a＜0时，f(x)在(2a，0)上单调递减，在(－∞，2a)，(0，＋∞)上单调递增．菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）【反思启迪】1.本题(2)中f′(x)＝(2x－ax2)e－ax，f′(x)的符号由2x－ax2确定，从而把问题转化为确定2x－ax2的符号问题．2．判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f′(x)的符号问题上，而f′(x)＞0或f′(x)＜0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题．菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）设函数f(x)＝1＋x1－xe－ax.(1)写出定义域及f′(x)的解析式；(2)设a＞0，求函数y＝f(x)的单调增区间；(3)若对任意x∈(0，1)，恒有f(x)＞1成立，求实数a的取值范围．【解】(1)f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝ax2＋2－a（1－x）2e－ax.(2)①当0＜a≤2时，f′(x)≥0，所以f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上为增函数；菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）②当a＞2，由f′(x)＞0得ax2＋2－a＞0，x＞a－2a或x＜－a－2a，∴f(x)的增区间为(－∞，－a－2a)，(a－2a，1)，(1，＋∞)．(3)①当0＜a≤2时，由(1)知，对任意x∈(0，1)，恒有f(x)＞f(0)＝1；②当a＞2时，由(1)知，f(x)在(0,a－2a)上是减函数，在(a－2a，1)上是增函数，取x0＝12a－2a∈(0，1)，则f(x0)＜f(0)＝1；菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）③当a≤0时，对任意x∈(0，1)，恒有1＋x1－x＞1且e－ax≥1，得f(x)＝1＋x1－xe－ax＞1.综上，当且仅当a∈(－∞，2]时，若对任意x∈(0，1)恒有f(x)＞1成立．菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）利用导数判断函数的零点个数是近两年高考命题的亮点，求解时应把函数的零点存在性定理，函数的单调性、极值点等综合起来考虑，最后数形结合求得结果．菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）【思路点拨】(1)分a＝0、a＜0和a＞0三种情况求函数f(x)的最大值；(2)先用零点存在性定理判断有无零点，再根据函数的单调性判断零点的个数．(2012·福建高考)已知函数f(x)＝axsinx－32(a∈R)，且在[0，π2]上的最大值为π－32.(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．菜单菜单新课标·理科数学（广东专用）【规范解答】(1)由已知得f′(x)＝a(sinx＋xcosx)，对于任意x∈(0，π2)，有sinx＋xcosx>0.当a＝0时，f(x)＝－32，不合题意．当a<0，x∈(0，π2)时，f′(x)<0，从而f(x)在(0，π2)内单调递减．又f(x)在[0，π2]上的图...