(五)直线与圆锥曲线专练1．过点Q(－2，)作圆O：x2＋y2＝r2(r>0)的切线，切点为D，且|QD|＝4.(1)求r的值；(2)设P是圆O上位于第一象限内的任意一点，过点P作圆O的切线l，且l交x轴于点A，交y轴于点B，设，求||的最小值(O为坐标原点)．2．如图，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，O是坐标原点，|OF|＝，过F作OF的垂线交椭圆于P0，Q0两点，△OP0Q0的面积为.(1)求该椭圆的标准方程；(2)若过点M(－，0)的直线l与上、下半椭圆分别交于点P，Q，且|PM|＝2|MQ|，求直线l的方程．3．已知点A(－4，0)，直线l：x＝－1与x轴交于点B，动点M到A，B两点的距离之比为2.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设C与x轴交于E，F两点，P是直线l上一点，且点P不在C上，直线PE，PF分别与C交于另一点S，T，证明：A，S，T三点共线．4．(2016·四川高考)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值．答案1．解：(1)由题可知，圆O的圆心为(0，0)，半径为r.∵过点Q(－2，)作圆O：x2＋y2＝r2(r>0)的切线，切点为D，且|QD|＝4，∴r＝|OD|＝＝＝3.(2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，即bx＋ay－ab＝0，则A(a，0)，B(0，b)，∵，∴＝(a，b)，∴||＝.∵直线l与圆O相切，∴＝3，∴3＝ab≤，≥∴6，∴||≥6，当且仅当a＝b＝3时，等号成立．∴||的最小值为6.2．解：(1)由题设条件，|P0F|＝＝＝.易知|P0F|＝，从而＝.又c＝|OF|＝，即a2－b2＝5，因此a2－a－5＝0，解得a＝3或a＝－，又a>0，故a＝3，从而b＝2.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意y1>0，y2<0，并可设直线l：x＝ty－，代入椭圆方程得＋＝1，即(4t2＋9)y2－8ty－16＝0.从而y1＋y2＝，y1y2＝－.又由|PM|＝2|MQ|，得＝＝2，即y1＝－2y2.因此y1＋y2＝－y2，y1y2＝－2y，故－＝－2，可解得t2＝.注意到y2＝－且y2<0，知t>0，因此t＝.故满足题意的直线l的方程为x＝y－，即为2x－y＋2＝0.3．解：(1)设点M(x，y)，依题意，＝＝2，化简得x2＋y2＝4，即轨迹C的方程为x2＋y2＝4.(2)证明：由(1)知曲线C的方程为x2＋y2＝4，令y＝0得x＝±2，不妨设E(－2，0)，F(2，0)，如图．设P(－1，y0)，S(x1，y1)，T(x2，y2)，则直线PE的方程为y＝y0(x＋2)，由得(y＋1)x2＋4yx＋4y－4＝0，所以－2x1＝，即x1＝，y1＝.直线PF的方程为y＝－(x－2)，由得(y＋9)x2－4yx＋4y－36＝0，所以2x2＝，即x2＝，y2＝.所以kAS＝＝＝，kAT＝＝＝，所以kAS＝kAT，所以A，S，T三点共线．4．解：(1)由已知，a＝b，则椭圆E的方程为＋＝1.由方程组得3x2－12x＋18－2b2＝0.由题意Δ＝24(b2－3)＝0，得b2＝3，则直线l与椭圆E的交点坐标为(2，1)所以椭圆E的方程为＋＝1.点T的坐标为(2，1)．(2)证明：由已知可设直线l′的方程为y＝x＋m(m≠0)，由方程组可得所以P点坐标为，|PT|2＝m2.设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．由方程组可得3x2＋4mx＋4m2－12＝0.由Δ＝16(9－2m2)＞0，解得－＜m＜.则由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|PA|＝＝，同理|PB|＝.所以|PA|·|PB|＝＝＝＝m2.故存在常数λ＝，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|.
