(五)直线与圆锥曲线专练1.过点Q(-2,)作圆O:x2+y2=r2(r>0)的切线,切点为D,且|QD|=4.(1)求r的值;(2)设P是圆O上位于第一象限内的任意一点,过点P作圆O的切线l,且l交x轴于点A,交y轴于点B,设,求||的最小值(O为坐标原点).2.如图,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,O是坐标原点,|OF|=,过F作OF的垂线交椭圆于P0,Q0两点,△OP0Q0的面积为.(1)求该椭圆的标准方程;(2)若过点M(-,0)的直线l与上、下半椭圆分别交于点P,Q,且|PM|=2|MQ|,求直线l的方程.3.已知点A(-4,0),直线l:x=-1与x轴交于点B,动点M到A,B两点的距离之比为2.(1)求点M的轨迹C的方程;(2)设C与x轴交于E,F两点,P是直线l上一点,且点P不在C上,直线PE,PF分别与C交于另一点S,T,证明:A,S,T三点共线.4.(2016·四川高考)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点,直线l′平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.答案1.解:(1)由题可知,圆O的圆心为(0,0),半径为r.∵过点Q(-2,)作圆O:x2+y2=r2(r>0)的切线,切点为D,且|QD|=4,∴r=|OD|===3.(2)设直线l的方程为+=1(a>0,b>0),即bx+ay-ab=0,则A(a,0),B(0,b),∵,∴=(a,b),∴||=.∵直线l与圆O相切,∴=3,∴3=ab≤,≥∴6,∴||≥6,当且仅当a=b=3时,等号成立.∴||的最小值为6.2.解:(1)由题设条件,|P0F|===.易知|P0F|=,从而=.又c=|OF|=,即a2-b2=5,因此a2-a-5=0,解得a=3或a=-,又a>0,故a=3,从而b=2.故所求椭圆的标准方程为+=1.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意y1>0,y2<0,并可设直线l:x=ty-,代入椭圆方程得+=1,即(4t2+9)y2-8ty-16=0.从而y1+y2=,y1y2=-.又由|PM|=2|MQ|,得==2,即y1=-2y2.因此y1+y2=-y2,y1y2=-2y,故-=-2,可解得t2=.注意到y2=-且y2<0,知t>0,因此t=.故满足题意的直线l的方程为x=y-,即为2x-y+2=0.3.解:(1)设点M(x,y),依题意,==2,化简得x2+y2=4,即轨迹C的方程为x2+y2=4.(2)证明:由(1)知曲线C的方程为x2+y2=4,令y=0得x=±2,不妨设E(-2,0),F(2,0),如图.设P(-1,y0),S(x1,y1),T(x2,y2),则直线PE的方程为y=y0(x+2),由得(y+1)x2+4yx+4y-4=0,所以-2x1=,即x1=,y1=.直线PF的方程为y=-(x-2),由得(y+9)x2-4yx+4y-36=0,所以2x2=,即x2=,y2=.所以kAS===,kAT===,所以kAS=kAT,所以A,S,T三点共线.4.解:(1)由已知,a=b,则椭圆E的方程为+=1.由方程组得3x2-12x+18-2b2=0.由题意Δ=24(b2-3)=0,得b2=3,则直线l与椭圆E的交点坐标为(2,1)所以椭圆E的方程为+=1.点T的坐标为(2,1).(2)证明:由已知可设直线l′的方程为y=x+m(m≠0),由方程组可得所以P点坐标为,|PT|2=m2.设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由方程组可得3x2+4mx+4m2-12=0.由Δ=16(9-2m2)>0,解得-<m<.则由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=.所以|PA|==,同理|PB|=.所以|PA|·|PB|====m2.故存在常数λ=,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.