——二、大题练规范5个解答题分类练(一)三角函数、解三角形专练1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(a－3b)·cosC＝c(3cosB－cosA)．(1)求的值；(2)若c＝a，求角C的大小．2．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量m＝(2b，1)，n＝(2a－c，cosC)，且m∥n.(1)若b2＝ac，试判断△ABC的形状；(2)求y＝1－的值域．3．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－.(1)求函数y＝f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足f＝，且sinB＋sinC＝，求△ABC的面积．4．如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC＝5，CD＝5，BD＝2AD.(1)求AD的长；(2)求△ABC的面积．答案1．解：(1)由正弦定理得，(sinA－3sinB)cosC＝sinC(3cosB－cosA)，∴sinAcosC＋cosAsinC＝3sinCcosB＋3cosCsinB，即sin(A＋C)＝3sin(C＋B)，即sinB＝3sinA，∴＝3.(2)由(1)知b＝3a，∵c＝a，∴cosC＝＝＝＝，∵C∈(0，π)，∴C＝.2．解：(1)由已知，m∥n，则2bcosC＝2a－c，由正弦定理，得2sinBcosC＝2sin(B＋C)－sinC，即2sinBcosC＝2sinBcosC＋2cosBsinC－sinC.在△ABC中，sinC≠0，因而2cosB＝1，则B＝.又b2＝ac，b2＝a2＋c2－2accosB，因而ac＝a2＋c2－2accos，即(a－c)2＝0，所以a＝c，△ABC为等边三角形．(2)y＝1－＝1－＝1－2cosA(cosA－sinA)＝sin2A－cos2A＝sin，其中A∈.因而所求函数的值域为(－1，]．3．解：(1)f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－＝sin2x＋cos2x＝2sin，因此f(x)的最小正周期为T＝＝π.由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得x∈(k∈Z)，所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．(2)由f＝2sin＝2sinA＝，又A为锐角，所以A＝.由正弦定理可得2R＝＝＝，sinB＋sinC＝＝(R为△ABC的外接圆半径)，则b＋c＝×＝13，由余弦定理可知，cosA＝＝＝，可求得bc＝40，故S△ABC＝bcsinA＝10.4．解：(1)在△ABC中，因为BD＝2AD，设AD＝x(x>0)，则BD＝2x.在△BCD中，因为CD⊥BC，CD＝5，BD＝2x，所以cos∠CDB＝＝.在△ACD中，因为AD＝x，CD＝5，AC＝5，则cos∠ADC＝＝.因为∠CDB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADC＝－cos∠CDB，即＝－.解得x＝5.所以AD的长为5.(2)由(1)求得AB＝3x＝15，BC＝＝5，sin∠CBD＝＝.所以S△ABC＝×AB×BC×sin∠CBA＝×15×5×＝.
