专题跟踪检测（十三）圆锥曲线的方程与性质一、全练保分考法——保大分1．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A.B．C.D．解析：选B不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知＝×2b，解得＝，即e＝.故选B．2．(2019届高三·湖南长郡中学模拟)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为()A.B．C．2D．解析：选C依题意，设双曲线的渐近线y＝x的倾斜角为θ，则有3θ＝π，θ＝，＝tan＝，双曲线C的离心率e＝＝2.3．(2019届高三·南宁、柳州名校联考)已知双曲线－＝1(b>0)的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±3xD．y＝±x解析：选B由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线－＝1的一个焦点坐标是(2,0)，则c＝2，且双曲线的焦点在x轴上，所以3＋b＝22，即b＝1，于是双曲线的渐近线方程为y＝±x.4．(2018·昆明调研)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的倾斜角为()A．15°B．30°C．45°D．60°解析：选B分别过A，B，N作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A′，B′，Q，由抛物线的定义知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NQ|＝(|AA′|＋|BB′|)＝|AB|，因为|MN|＝|AB|，所以|NQ|＝|MN|，所以∠MNQ＝60°，即直线MN的倾斜角为120°，又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为30°.5．(2018·南昌模拟)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为()A.B．C．1D．解析：选B如图，设F1，F2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P是第一象限的点，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.设|F1F2|＝2c，又∠F1PF2＝，则在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos，化简得(2－)a＋(2＋)a＝4c2，设椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，∴＋＝4，又＋≥2＝，∴≤4，即e1·e2≥，∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.6．(2018·长春质检)已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线上任意一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝()A．1B．2C．4D．解析：选A不妨设P在双曲线的左支，如图，延长F1H交PF2于点M，由于PH既是∠F1PF2的平分线又垂直于F1M，故△PF1M为等腰三角形，|PF1|＝|PM|且H为F1M的中点，所以OH为△MF1F2的中位线，所以|OH|＝|MF2|＝(|PF2|－|PM|)＝(|PF2|－|PF1|)＝1.7．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝________.解析：抛物线C：y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2.从而椭圆E的半焦距c＝2.可设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，因为离心率e＝＝，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝12.由题意知|AB|＝＝2×＝6.答案：68．(2018·南宁模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是________．解析：设直线x－y＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝＝1.由两式相减得，＋＝0，所以＝－·，所以＝，于是椭圆的离心率e＝＝＝.答案：9．(2019届高三·惠州调研)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，－c)，则过点F1与渐近线y＝x平行的直线为y＝x＋c，联立解得即M.因为点M在以线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2内，故2＋2
