专题跟踪检测（四）“导数与不等式”考法面面观1．(2019届高三·唐山模拟)已知f(x)＝x2－a2lnx，a>0.(1)求函数f(x)的最小值；(2)当x>2a时，证明：>a.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－＝.当x∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．所以当x＝a时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(a)＝a2－a2lna.(2)证明：由(1)知，f(x)在(2a，＋∞)上单调递增，则所证不等式等价于f(x)－f(2a)－a(x－2a)>0.设g(x)＝f(x)－f(2a)－a(x－2a)，则当x>2a时，g′(x)＝f′(x)－a＝x－－a＝>0，所以g(x)在(2a，＋∞)上单调递增，当x>2a时，g(x)>g(2a)＝0，即f(x)－f(2a)－a(x－2a)>0，故>a.2．已知函数f(x)＝xex＋2x＋alnx，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直．(1)求实数a的值；(2)求证：f(x)>x2＋2.解：(1)因为f′(x)＝(x＋1)ex＋2＋，所以曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝2e＋2＋a.而直线x＋2y－1＝0的斜率为－，由题意可得(2e＋2＋a)×＝－1，解得a＝－2e.(2)证明：由(1)知，f(x)＝xex＋2x－2elnx.不等式f(x)>x2＋2可化为xex＋2x－2elnx－x2－2>0.设g(x)＝xex＋2x－2elnx－x2－2，则g′(x)＝(x＋1)ex＋2－－2x.记h(x)＝(x＋1)ex＋2－－2x(x>0)，则h′(x)＝(x＋2)ex＋－2，因为x>0，所以x＋2>2，ex>1，故(x＋2)ex>2，又>0，所以h′(x)＝(x＋2)ex＋－2>0，所以函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增．又h(1)＝2e＋2－2e－2＝0，所以当x∈(0,1)时，h(x)<0，即g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0，即g′(x)>0，函数g(x)单调递增．所以g(x)≥g(1)＝e＋2－2eln1－1－2＝e－1，显然e－1>0，所以g(x)>0，即xex＋2x－2elnx>x2＋2，也就是f(x)>x2＋2.3．(2018·武汉模拟)设函数f(x)＝(1＋x－x2)ex(e＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1＋2x2恒成立，求实数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝(2－x－x2)ex＝－(x＋2)(x－1)ex.当x<－2或x>1时，f′(x)<0；当－20.所以f(x)在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递减，在(－2,1)上单调递增．(2)设F(x)＝f(x)－(ax＋1＋2x2)，F(0)＝0，F′(x)＝(2－x－x2)ex－4x－a，F′(0)＝2－a，当a≥2时，F′(x)＝(2－x－x2)ex－4x－a≤－(x＋2)·(x－1)ex－4x－2≤－(x＋2)(x－1)ex－x－2＝－(x＋2)[(x－1)ex＋1]，设h(x)＝(x－1)ex＋1，h′(x)＝xex≥0，所以h(x)在[0，＋∞)上单调递增，h(x)＝(x－1)ex＋1≥h(0)＝0，即F′(x)≤0在[0，＋∞)上恒成立，F(x)在[0，＋∞)上单调递减，F(x)≤F(0)＝0，所以f(x)≤ax＋1＋2x2在[0，＋∞)上恒成立．当a<2时，F′(0)＝2－a>0，而函数F′(x)的图象在(0，＋∞)上连续且x→＋∞，F′(x)逐渐趋近负无穷，必存在正实数x0使得F′(x0)＝0且在(0，x0)上F′(x)>0，所以F(x)在(0，x0)上单调递增，此时F(x)>F(0)＝0，f(x)>ax＋1＋2x2有解，不满足题意．综上，a的取值范围是[2，＋∞)．4．(2018·南昌模拟)设函数f(x)＝2lnx－mx2＋1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当f(x)有极值时，若存在x0，使得f(x0)>m－1成立，求实数m的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2mx＝，当m≤0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当m>0时，令f′(x)>0，得0，∴f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)由(1)知，当f(x)有极值时，m>0，且f(x)在上单调递增，在上单调递减．∴f(x)max＝f＝2ln－m·＋1＝－lnm，若存在x0，使得f(x0)>m－1成立，则f(x)max>m－1.即－lnm>m－1，lnm＋m－1<0成立．令g(x)＝x＋lnx－1(x>0)， g′(x)＝1＋>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，∴00时，对任意的x∈，恒有f(x)≤e－1成立，求实数b的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．当b＝2时，f(x)＝alnx＋x2，所以f′(x)＝＋2x＝.①当a>0时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a<0时，令f′(x)＝0，解...
