专题跟踪检测（五）“导数与函数的零点问题”考法面面观1．(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点．解：(1)当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2.当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0.故f(x)的单调递增区间为(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)，单调递减区间为(3－2，3＋2)．(2)证明：因为x2＋x＋1>0，所以f(x)＝0等价于－3a＝0.设g(x)＝－3a，则g′(x)＝≥0，仅当x＝0时，g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－62－<0，f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一个零点．综上，f(x)只有一个零点．2．(2018·郑州第一次质量预测)已知函数f(x)＝lnx＋－，a∈R且a≠0.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x∈时，试判断函数g(x)＝(lnx－1)ex＋x－m的零点个数．解：(1)f′(x)＝(x>0)，当a<0时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，由f′(x)＝>0，得x>；由f′(x)＝<0，得00时，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2) 当x∈时，判断函数g(x)＝(lnx－1)ex＋x－m的零点，即求当x∈时，方程(lnx－1)ex＋x＝m的根．令h(x)＝(lnx－1)ex＋x，则h′(x)＝ex＋1.由(1)知当a＝1时，f(x)＝lnx＋－1在上单调递减，在(1，e)上单调递增，∴当x∈时，f(x)≥f(1)＝0.∴＋lnx－1≥0在x∈上恒成立．∴h′(x)＝ex＋1≥0＋1>0，∴h(x)＝(lnx－1)ex＋x在上单调递增．∴h(x)min＝h＝－2e1e＋，h(x)max＝e.∴当m<－2e1e＋或m>e时，函数g(x)在上没有零点；当－2e1e＋≤m≤e时，函数g(x)在上有一个零点．3．(2018·贵阳模拟)已知函数f(x)＝kx－lnx－1(k>0)．(1)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k的值；(2)证明：当n∈N*时，1＋＋＋…＋>ln(n＋1)．解：(1)法一：f(x)＝kx－lnx－1，f′(x)＝k－＝(x>0，k>0)，当0时，f′(x)>0.∴f(x)在0，上单调递减，在，＋∞上单调递增．∴f(x)min＝f＝lnk， f(x)有且只有一个零点，∴lnk＝0，∴k＝1.法二：由题意知方程kx－lnx－1＝0仅有一个实根，由kx－lnx－1＝0，得k＝(x>0)，令g(x)＝(x>0)，g′(x)＝，当00；当x>1时，g′(x)<0.∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g(1)＝1，当x→＋∞时，g(x)→0，∴要使f(x)仅有一个零点，则k＝1.法三：函数f(x)有且只有一个零点，即直线y＝kx与曲线y＝lnx＋1相切，设切点为(x0，y0)，由y＝lnx＋1，得y′＝，∴∴k＝x0＝y0＝1，∴实数k的值为1.(2)证明：由(1)知x－lnx－1≥0，即x－1≥lnx，当且仅当x＝1时取等号， n∈N*，令x＝，得>ln，∴1＋＋＋…＋>ln＋ln＋…＋ln＝ln(n＋1)，故1＋＋＋…＋>ln(n＋1)．4.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋(c－3a－2b)x＋d的图象如图所示．(1)求c，d的值；(2)若函数f(x)在x＝2处的切线方程为3x＋y－11＝0，求函数f(x)的解析式；(3)在(2)的条件下，函数y＝f(x)与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．解：函数f(x)的导函数为f′(x)＝3ax2＋2bx＋c－3a－2b.(1)由图可知函数f(x)的图象过点(0,3)，且f′(1)＝0，得解得(2)由(1)得，f(x)＝ax3＋bx2－(3a＋2b)x＋3，所以f′(x)＝3ax2＋2bx－(3a＋2b)．由函数f(x)在x＝2处的切线方程为3x＋y－11＝0，得所以解得所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋3.(3)由(2)知f(x)＝x3－6x2＋9x＋3，所以f′(x)＝3x2－12x＋9.函数y＝f(x)与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，等价于x3－6x2＋9x＋3＝(x2－4x＋3)＋5x＋m有三个不等实根，等价于g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点．因为g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，令g′(x)＝0，得x＝或x＝4.当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如表所示：x4(4，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)极大值极小值g＝－m，g(4)＝－16－m，当且仅当时，g(x)图象与x轴有三个交点，解得－16
