专题跟踪检测（五）“导数与函数的零点问题”考法面面观1．(2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点．解：(1)当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3
令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2
当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)0，所以f(x)＝0等价于－3a＝0
设g(x)＝－3a，则g′(x)＝≥0，仅当x＝0时，g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－62－0，故f(x)有一个零点．综上，f(x)只有一个零点．2．(2018·郑州第一次质量预测)已知函数f(x)＝lnx＋－，a∈R且a≠0
(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x∈时，试判断函数g(x)＝(lnx－1)ex＋x－m的零点个数．解：(1)f′(x)＝(x>0)，当a0恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，由f′(x)＝>0，得x>；由f′(x)＝ln(n＋1)．解：(1)法一：f(x)＝kx－lnx－1，f′(x)＝k－＝(x>0，k>0)，当00)，令g(x)＝(x>0)，g′(x)＝，当01时，g′(x)ln，∴1＋＋＋…＋>ln＋ln＋…＋ln＝ln(n＋1)，故1＋＋＋…＋>ln(n＋1)．4
已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋(c－3a－2b)x＋d的图象如图所示．(1)求c，d的值；(2)若函数f(x)在x＝2处的切线方程为3x＋y－11＝0，求函数f(x)的解析式；(3)在(2)的条件下，函数y＝f(x)与y＝f′(x)＋5x＋m的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
