高考数学二轮复习 专题九 解析几何 第3讲 圆锥曲线的几何性质考题溯源变式 理-人教版高三数学试题VIP免费

（通用版）2016年高考数学二轮复习专题九解析几何第3讲圆锥曲线的几何性质考题溯源教材变式理真题示例对应教材题材评说(2014·高考课标全国卷Ⅰ，12分)已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.(选修21练习P48T7)经过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A、B两点，求AB的长.细细品味，你会知道考题实际上是教材问题的升华创造，是静态问题向动态问题变迁的高级案例，要引起高度重视.[教材变式训练]一、选择题[变式1](选修2－1P49A组T1改编)在直角坐标平面xOy中，动点M(x，y)满足＋＝10，则|OM|的取值范围是()A．[3，5]B．[4，5]C．[6，10]D．[8，10]解析：选B.设F1(0，－3)，F2(0，3)，则＋＝10，即为|MF1|＋|MF2|＝10>|F1F2|，故动点M的轨迹为以F1(0，－3)，F2(0，3)为焦点，以10为长轴长的椭圆，故|OM|∈[4，5]．[变式2](选修2－1P80A组T3(2)改编)与圆O：x2＋y2＝1和圆C：x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆的圆心在()A．一个椭圆上B．双曲线一支上C．一条抛物线上D．一个圆上解析：选B.设圆的圆心为P，对于圆C：x2＋y2－8x＋12＝0可化为(x－4)2＋y2＝4，设圆P的半径为r，则|PC|＝2＋r，|PO|＝r＋1，∴|PC|－|PO|＝1<|OC|＝4，∴P的轨迹为以O，C为焦点，以1为实轴长双曲线左支．[变式3](选修2－1P73A组T5改编)M是抛物线C：y2＝4x上一点，F是C的焦点，∠MFx＝60°，则|FM|为()A．3B．4C．5D．6解析：选B.如图所示，l为抛物线C的准线，过M作x轴，l的垂线，分别交x轴，直线l于M0，M′，依题意可知：∠MFM0＝60°，设|M0F|＝x，则|MF|＝2x，∴|MM′|＝2x，又 |KF|＝2，∴x＋2＝2x，∴x＝2，∴|MF|＝4.[变式4](选修2－1P58例4改编)F1、F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A1，A2是它的两个顶点，过F1且与实轴垂直的直线交双曲线A、B两点，若|AB|＝3|A1A2|，则双曲线的离心率为()A.B．C．2D．3解析：选C.AB所在的直线方程为x＝－c，代入－＝1得y＝±，∴|AB|＝，由|AB|＝3|A1A2|得＝3×2a，即b2＝3a2，∴c2＝4a2，c＝2a，则有离心率e＝＝2，故选C.[变式5](选修2－1P62B组T1改编)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为()A.x±y＝0B．x±y＝0C．x±y＝0D．2x±y＝0解析：选B. 椭圆＋＝1的焦点为(±4，0)，∴双曲线的焦点坐标为(±4，0)，∴c＝4，∴在双曲线中＝2，c2＝a2＋b2，∴a＝2，b2＝12，∴双曲线方程为－＝1，∴渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0，故选B.[变式6](选修2－1P69例4，改编)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为()A.B．C.D．2解析：选C.由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(y1>0，y2<0)，如图所示，|AF|＝x1＋1＝3，∴x1＝2，y1＝2.设AB的方程为x－1＝ty，由消去x得y2－4ty－4＝0.∴y1y2＝－4，∴y2＝－，x2＝，∴S△AOB＝×1×|y1－y2|＝，故选C.二、填空题[变式7](选修2－1P48练习T7改编)过椭圆＋y2＝1的左焦点F1的直线l交椭圆于A、B两点，l与y轴上半轴的交点是F1A的中点，则|AB|＝________．解析：如图所示，设AB与y轴上半轴交点为C， C为F1A中点，O为F1F2中点，∴AF2⊥x轴，∴|AF2|＝，∴A(1，)，∴kAF1＝，∴lAB：y＝(x＋1)．联立⇒5x2＋2x－7＝0，∴x1＝1，x2＝－，∴B(－，－)，而A(1，)，∴|AB|＝＝.答案：[变式8](选修2－1P74B组T2改编)O为坐标原点，A、B是抛物线y2＝2x上的两点，若△OAB是正三角形，则△OAB的面积为________．解析：如图所示， △OAB为正三角形，∴显然A、B必须关于x轴对称，设AB与x轴交点为C，又设|AC|＝x0，则|OC|＝x0，∴A(x0，x0)，而A在抛物线y2＝2x上，∴x＝2x0，∴x0＝2，x0＝0(舍)，∴|AB|＝2x0＝4，∴S△AOB＝×(4)2＝12.答案：12三、解答题[变式9](选修2－1P81B组T2改编)如图A、B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个顶点，F2为右焦点，P是C上一点，PF2⊥x轴，且存在实数λ，使AB＝λOP.(1)求C的离心率与λ的值；(2)若S△OAB＝，Q是C上一点，求△...