（通用版）2016年高考数学二轮复习专题九解析几何第4讲圆锥曲线的综合问题专题强化训练理(时间：45分钟满分：60分)1.如图，已知抛物线C：y2＝2px(p>0)和⊙M：(x－4)2＋y2＝1，过抛物线C上一点H(x0，y0)(y0≥1)作两条直线与⊙M相切于A，B两点，分别交抛物线于E，F两点，圆心M到抛物线准线的距离为.(1)求抛物线C的方程；(2)当∠AHB的角平分线垂直于x轴时，求直线EF的斜率．解：(1) 点M到抛物线准线的距离为4＋＝，∴p＝，即抛物线C的方程为y2＝x.(2) 当∠AHB的角平分线垂直于x轴时，点H(4，2)，∴kHE＝－kHF.设E(x1，y1)，F(x2，y2)，∴＝－，∴＝－，∴y1＋y2＝－4，∴kEF＝＝＝＝－.2．已知过点A(－4，0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p>0)相交于B，C两点．当直线l的斜率是时，AC＝4AB.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，直线l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.联立得2y2－(8＋p)y＋8＝0，y1＋y2＝，y1y2＝4.由已知AC＝4AB得y2＝4y1.由根与系数的关系可得y1＝1，y2＝4，p＝2，所以抛物线G的方程为x2＝4y.(2)设l：y＝k(x＋4)，BC中点坐标为(x0，y0)，由得x2－4kx－16k＝0，由Δ>0得k<－4或k>0.∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k，BC的中垂线为y－2k2－4k＝－(x－2k)，∴b＝2(k＋1)2，∴b>2.3．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且焦距为6，点P是椭圆短轴的一个端点，△PF1F2的周长为16.(1)求椭圆C的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为的直线l被椭圆C所截得的线段中点的坐标．解：(1)设椭圆的半焦距为c，则由题意，可得解得所以b2＝a2－c2＝52－32＝16.故所求椭圆C的方程为＋＝1.(2)法一：过点(3，0)，且斜率为的直线l的方程为y＝(x－3)，将之代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0.因为点(3，0)在椭圆内，设直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为x1＋x2＝3，所以线段AB中点的横坐标为＝，纵坐标为×(－3)＝－.故所求线段的中点坐标为(，－)．法二：过点(3，0)且斜率为的直线l的方程为y＝(x－3)，因为(3，0)在椭圆内，所以直线l与椭圆有两个交点，设两交点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，中点M的坐标为(x0，y0)，则有由①－②，得＝－，即＝－.又y0＝(x0－3)．所以故所求线段的中点坐标为(，－)．4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其上顶点为A.若△F1AF2是边长为2的正三角形．(1)求椭圆C的方程；(2)过点Q(－4，0)任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记MQ＝λQN.若在线段MN上取一点R，使得MR＝－λRN，当直线l运动时，点R在某一定直线上运动，求出该定直线的方程．解：(1)因为△F1AF2是边长为2的正三角形，所以c＝1，a＝2，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由题意知，直线MN的斜率必存在，设其方程为y＝k(x＋4)，并设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由，消去y得(3＋4k2)x2＋32k2x＋64k2－12＝0，则Δ＝144(1－4k2)>0，x1＋x2＝，x1·x2＝.由MQ＝λQN，得－4－x1＝λ(x2＋4)，故λ＝－.设点R的坐标为(x0，y0)，则由MR＝－λ·RN，得x0－x1＝－λ(x2－x0)，得x0＝＝＝＝＝－1，故点R在定直线x＝－1上．5．已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的准线与x轴交于点M，过点M作圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，切点为A，B，|AB|＝.(1)求抛物线E的方程；(2)由抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，若P，Q，O(O为原点)三点共线，求点N的坐标．解：(1)由已知得M(－，0)，C(2，0)．设AB与x轴交于点R，如图，由圆的对称性可知，|AR|＝.于是|CR|＝＝，所以|CM|＝＝＝3，即2＋＝3，p＝2.故抛物线E的方程为y2＝4x.(2)如图，设N(s，t)．易知P，Q是以NC为直径的圆D与圆C的两交点．圆D的方程为(x－)2＋(y－)2＝，即x2＋y2－(s＋2)x－ty＋2s＝0.①又圆C的方程为x2＋y2－4x＋3＝0.②②－①得(s－2)x＋ty＋3－2s＝0.③易知③为直线PQ的方程．因为直线PQ经过点O，所以3－2s＝0，s＝.又N(s，t)是抛物线上的点，故点N的坐标为(，)或(，－)．6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)经过点P(4，)，且双曲线C的渐近线与圆x2＋(y－3)2＝4相切．(1)求双曲线C的方程；(2)设F(c，0)是双曲线C...
