高考数学二轮复习 专题十三 选考部分 第2讲 坐标系与参数方程考题溯源变式 理-人教版高三数学试题VIP免费

（通用版）2016年高考数学二轮复习专题十三选考部分第2讲坐标系与参数方程考题溯源教材变式理真题示例对应教材题材评说(2014·高考课标全国卷Ⅰ，10分)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.(选修4－4P28例1)在椭圆＋＝1上求一点M，使点M到直线x＋2y－10＝0的距离最小，并求出最小距离.教材例题是本考题原型，对应的方程虽然以不同的表现形式展示，但普通方程和参数方程互化是缩小两题差异的通性通法，考题中求|PA|的最值与例题中求最小距离，有异曲同工之妙.[教材变式训练][变式1](选修4－4P15T5改编)以直角坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l：ρsin＝2，曲线C的参数方程为(α为参数)．(1)求l与C的直角坐标方程；(2)A、B是曲线C上距离最远的两点，在l上是否存在点P，使PA⊥PB，若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由．解：(1) 直线l的极坐标方程为ρsin＝2，∴ρsinθ＋ρcosθ＝2，∴x＋y－4＝0为直线l的直角坐标方程． 曲线C的参数方程为(α为参数)，∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1.(2)由A、B是曲线C上距离最远的两点，则A、B为椭圆C长轴上的两个端点，由(1)知，A(－2，0)，B(2，0)，假设直线l上存在一点P(x，4－x)，使得PA⊥PB，即PA＝(－2－x，x－4)，PB＝(2－x，x－4)，则PA·PB＝0，即－(2＋x)(2－x)＋(x－4)2＝0，x2－4x＋6＝0， Δ＝16－24＝－8<0，故方程x2－4x＋6＝0无解，即直线l上不存在点P，使得PA⊥PB.[变式2](选修4－4P15T6改编)已知曲线C：(θ为参数)，A、B是曲线C上两点，O为坐标原点，OA·OB＝0.(1)求证：＋为定值；(2)求|AB|的最小值，并以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，在此极坐标系中，求AB所在直线的极坐标方程．解：(1)证明：将曲线C：(θ为参数)化为普通方程为＋＝1，在此极坐标系下，C的方程变为＋＝1，即ρ2＝， OA·OB＝0，∴OA＝(ρ1cosθ1，ρ1sinθ1)，OB＝(ρ2cosθ2，ρ2sinθ2)，∴＋＝＋＝＋＝＋又 θ2＝＋θ1，∴＋＝＋＝，故＋为定值．(2)如图， △AOB为直角三角形，∴|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，设|OA|＝m，|OB|＝n，∴|AB|2＝m2＋n2，则(m2＋n2)＝2＋＋≥4(当且仅当m＝n时等号成立)．又 ＋＝.∴m2＋n2≥，∴|AB|min＝.由椭圆的对称性可知，当|AB|取最小值时，AB所在的直线平行于x轴，则该直线的极坐标方程为ρsinθ＝±.[变式3](选修4－4P36例1改编)以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ＝，(1)求曲线C的直角坐标方程和一个参数方程；(2)直线l与曲线C有两个交点A、B，当t＝时，点P为直线上的点，求＋的值．解：(1)由ρ＝得ρcosθ＝tanθ.将x＝ρcosθ，＝tanθ代入得x＝，故曲线C的直线坐标方程为x2＝y(x≠0)．取x＝t1，则y＝t，可得曲线C的一个参数方程为(t1为参数t1≠0)．(2)法一：将t＝代入直线l的参数方程得即P(1，0)．由消去参数t得直角坐标方程为x＋y－1＝0，由消去y得x2＋x－1＝0，解得或.即A，B.∴|PA|＝·，|PB|＝·，∴＋＝＋＝＝.法二：将t＝代入直线l的参数方程得P(1，0)，设直线l上动点M(x，y)，令|PM|＝m，得直线l的参数方程为，代入x2＝y整理得m2－3m＋2＝0，设|PA|＝m1，|PB|＝m2，则m1＋m2＝3，m1m2＝2，且m1与m2同号，∴＋＝＋＝＝＝.[变式4](选修4－4P37例2改编)以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．点M的极坐标为(，θ)，且tanθ＝，θ∈，椭圆C：＋＝1.(1)求点M的直角坐标与曲线C的参数方程；(2)过点M的直线l与椭圆C交于A、B两点，且M为线段AB的中点，P是C上的一个动点，求△PAB面积的最大值．解：(1)由tanθ＝，θ∈得cosθ＝，sinθ＝，又ρ＝，∴x＝ρcosθ＝2，y＝ρsinθ＝1，∴点M的直角坐标为(2，1)．将a＝4，b＝2代入可得椭圆C的参数方程为(β为参数)．(2)法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，相减得＋＝0. M(2，1)为AB中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，代入上式可得＝－，即直线l的斜率k＝－.∴直线l的直角坐标方程为y＝－x＋2.由，解得A(0...