1.3.2奇偶性【学习目标导航】1.结合具体函数,了解奇函数,偶函数的定义.2.掌握判断函数奇偶性的方法,了解奇偶性与函数图象对称性之间的关系.3.会利用函数的奇偶性解决简单问题.【学习重、难点】1.根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性.(重点)2.函数奇偶性的应用.(难点)【问题提出导入新知】1.画出以下函数图象,观察两个图形,思考并讨论以下问题:(1)f(x)=x2(2)g(x)=|x|(1)这两个函数图象有什么共同特征吗?(2)关于y轴对称的点的坐标有什么关系吗?(3)点(x,f(x))在函数y=f(x)的图象上,关于y轴的对称点(—x,f(x))也一定在y=f(x)的图象上吗?为什么?(4)完成下列表格,从两个函数值对应中可以得出什么规律?x…—3—2—10123…f(x)=x2……g(x)=|x|……对于R内的任意的一个x,都有f(—x)=;g(—x)=这时我们称函数f(x)=x2与g(x)=|x|为偶函数。(5)偶函数的定义:如果对于函数f(x)的,都有,那么函数f(x)就叫做偶函数。偶函数的图象特征:图象关于对称。2.画出以下函数图象,观察两个图形,思考并讨论以下问题:(1)f(x)=x(2)g(x)=(1)这两个函数图象有什么共同特征吗?(2)关于原点对称的点的坐标有什么关系吗?(3)点(x,f(x))在函数y=f(x)的图象上,关于原点的对称点(—x,—f(x))也一定在y=f(x)的图象上吗?为什么?(4)完成下列表格,从两个函数值对应中可以得出什么规律?x…—3—2—10123…f(x)=x……g(x)=……对于R内的任意的一个x,都有f(—x)=;g(—x)=这时我们称函数f(x)=x与g(x)=为奇函数。(5)奇函数的定义:如果对于函数f(x)的,都有,那么函数f(x)就叫做奇函数。奇函数的图象特征:奇函数的图象关于对称。3.函数是奇函数或是偶函数称为函数的单调性,回答下列问题:(1)奇函数、偶函数的定义中有“定义域内任意的x”中的“任意”二字,说明函数的奇偶性是怎样的一个性质?与单调性有何区别?(2)-x与x两个数在数轴上所表示的点有何关系?具有奇偶性的函数的定义域有何特征?得出结论:(3)如果一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形,能否判断它的奇偶性?得出结论:(4)如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,能否判断它的奇偶性?得出结论:【典例分析】【例1】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=x+x3+x5;(2)f(x)=x2+1;(3)f(x)=x+1;(4)f(x)=x2,x∈[-1,3];(5)f(x)=0;(6)f(x)=5.(注意:既是奇函数又是偶函数的函数是f(x)=0常函数.前提是定义域关于原点对称).【归纳】1.用定义判断函数奇偶性的步骤:(1)先求定义域,看是否关于原点对称;(2)再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.2.对于一个函数来说,它的奇偶性有四种可能:。【活学活用1】判断下列函数的奇偶性:(2)f(x)=2x4+3x2;(5)f(x)=x3+2x;(6)【思考】讨论并判断我们已经学习过的基本初等函数的奇偶性。【例2】(1)如图⑴,给出了奇函数y=f(x)的局部图象,求f(-4).(2)如图⑵,给出了偶函数y=f(x)的局部图象,试比较f(1)与f(3)的大小.(1)(2)【活学活用2】(1)如图①所示,给出奇函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值;(2)如图②所示,给出偶函数y=f(x)的局部图象,比较f(1)与f(3)的大小并试作出y轴右侧的图象.【思考】奇函数f(x)的对称区间上的单调性有什么关系?偶函数呢?【例3】已知函数f(x)(x∈R)是奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-1,求函数f(x)的解析式.【活学活用3】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,x≥0时,f(x)=x2-2x,求函数f(x)在R上的解析式.【课堂练习】1.已知y=f(x)是偶函数,且f(4)=5,那么f(4)+f(-4)的值为。2.若函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=________.3.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0,5]时,函数y=f(x)的图象如图所示,则使函数值y<0的x的取值集合为________.4.若函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函数,则m=。【课堂小结】1.两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数.如果都有f(-x)=f(x)f(x)为偶函数.2.两个性质:一个函数为奇函数它的图象关于原点对称.一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称.3.判断函数的奇偶性:先看定义域,后验关系式。【课堂作业】课本第36页第1题及大册子第24页