能力升级练(二)平面向量与复数一、选择题1.下列各式的运算结果为纯虚数的是()A.i(1+i)2B.i2(1-i)C.(1+i)2D.i(1+i)解析i(1+i)2=i·2i=-2,不是纯虚数,排除A;i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是纯虚数,排除B;(1+i)2=2i,2i是纯虚数.故选C.答案C2.设z=11+i+i(i为虚数单位),则|z|=()A.12B.❑√22C.❑√32D.2解析因为z=11+i+i=1-i(1+i)(1-i)+i=1-i2+i=12+12i,所以|z|=❑√(12)2+(12)2=❑√22.答案B3.设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是()A.a与λa的方向相反B.a与λ2a的方向相同C.|-λa|≥|a|D.|-λa|≥|λ|·a解析对于A,当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反,B正确;对于C,|-λa|=|-λ||a|,由于|-λ|的大小不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定;对于D,|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小.答案B4.(2019北京通州二模)已知非零向量a,b的夹角为60°,且|b|=1,|2a-b|=1,则|a|=()A.12B.1C.❑√2D.2解析由题意得a·b=|a|×1×12=|a|2,又|2a-b|=1,∴|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=4|a|2-2|a|+1=1,即4|a|2-2|a|=0,又|a|≠0,解得|a|=12.答案A5.(2019河北石家庄二模)若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=2|b|,则向量a+b与a的夹角为()A.π3B.2π3C.5π6D.π6解析设|b|=1,则|a+b|=|a-b|=2.由|a+b|=|a-b|,得a·b=0,故以a、b为邻边的平行四边形是矩形,且|a|=❑√3,设向量a+b与a的夹角为θ,则cosθ=a·(a+b)|a|·|a+b|=a2+a·b|a|·|a+b|=|a||a+b|=❑√32,又0≤θ≤π,所以θ=π6.答案D6.已知向量a=(2,1),b=(3,4),c=(1,m),若实数λ满足a+b=λc,则λ+m等于()A.5B.6C.7D.8解析由题意知(5,5)=(λ,λm),即{λ=5,λm=5,故{λ=5,m=1,∴λ+m=6.答案B7.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则⃗EB+⃗FC=()A.⃗BCB.12⃗ADC.⃗ADD.12⃗BC解析如图,⃗EB+⃗FC=⃗EC+⃗CB+⃗FB+⃗BC=⃗EC+⃗FB=12¿)=12·2⃗AD=⃗AD.答案C8.(2019河北豫水中学质检)已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=1,AC=2,D是△ABC内一点,且∠DAB=60°,设⃗AD=λ⃗AB+μ⃗AC(λ,μ∈R),则λμ=()A.2❑√33B.❑√33C.3D.2❑√3解析如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B点的坐标为(1,0),C点的坐标为(0,2),因为∠DAB=60°,所以设D点的坐标为(m,❑√3m)(m≠0).⃗AD=(m,❑√3m)=λ⃗AB+μ⃗AC=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),则λ=m,且μ=❑√32m,所以λμ=2❑√33.答案A9.(2019福建普通高中质量检查)若复数z满足(1+i)z=|❑√3+i|,则在复平面内,z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由题意,得z=❑√(❑√3)2+121+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i,所以z=1+i,其在复平面内对应的点为(1,1),位于第一象限,故选A.答案A二、填空题10.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.解析∵向量a,b不平行,∴a+2b≠0,又向量λa+b与a+2b平行,则存在唯一的实数μ,使λa+b=μ(a+2b)成立,即λa+b=μa+2μb,则得{λ=μ,1=2μ,解得λ=μ=12.答案1211.(2019陕西西安八校联考)若a+bii(a,b∈R)与(2-i)2互为共轭复数,则a-b=.解析∵a+bii=(a+bi)(-i)-i2=b-ai,(2-i)2=4-4i-1=3-4i,a+bii(a,b∈R)与(2-i)2互为共轭复数,∴b=3,a=-4,则a-b=-7,故答案为-7.答案-712.已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b),若A,B,C三点共线,则a,b的关系式为.解析由已知得⃗AB=(2,-2),⃗AC=(a-1,b-1),∵A,B,C三点共线,∴⃗AB∥⃗AC.∴2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2.答案a+b=213.(2019广东佛山二模)在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2,AB=1,D为BC的中点,E在斜边AC上,若⃗AE=2⃗EC,则⃗DE·⃗AC=.解析如图,以B为坐标原点,AB所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(1,0),C(0,2),所以⃗AC=(-1,2).因为D为BC的中点,所以D(0,1),因为⃗AE=2⃗EC,所以E(13,43),所以⃗DE=(13,13),所以⃗DE·⃗AC=(13,13)·(-1,2)=-13+23=13.答案13三、解答题14.计算(1+i1-i)6+❑√2+❑√3i❑√3-❑√2i.解原式=[(1+i)22]6+(❑√2+❑√3i)(❑√3+❑√2i)(❑√3)2+(❑√2)2=i6+❑√6+2i+3i-❑√65=-1+i.15.(2019山东潍坊摸底)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cosB,-sinB),且m·n=-35.(1)求sinA的值;(2)若a=4❑√2,b=5,求角B的大小及向量⃗BA在⃗BC方向上的投影.解(1)由m·n=-35,得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-35,所以cosA=-35.因为0
b,所以A>B,且B是△ABC一内角,则B=π4.由余弦定理得(4❑√2)2=52+c2-2×5c×(-35),解得c=1,c=-7(舍去),故向量⃗BA在⃗BC方向上的投影为|⃗BA|cosB=ccosB=1×❑√22=❑√22.
