能力升级练(二十五)转化与化归思想一、选择题1.若a>2,则关于x的方程13x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有()A.0个根B.1个根C.2个根D.3个根解析设f(x)=13x3-ax2+1,则f'(x)=x2-2ax=x(x-2a),当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)在(0,2)上为减函数.又f(0)f(2)=1×83-4a+1=113-4a<0,所以f(x)=0在(0,2)上恰好有1个根.答案B2.如图所示,已知三棱锥P-ABC,PA=BC=2❑√34,PB=AC=10,PC=AB=2❑√41,则三棱锥P-ABC的体积为()A.40B.80C.160D.240解析因为三棱锥P-ABC的三组对边两两相等,则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示).把三棱锥P-ABC补成一个长方体AEBG-FPDC,易知三棱锥P-ABC的各边分别是此长方体的面对角线,不妨令PE=x,EB=y,EA=z,则由已知,可得{x2+y2=100,x2+z2=136,y2+z2=164⇒{x=6,y=8,z=10.从而知VP-ABC=VAEBG-FPDC-VP-AEB-VC-ABG-VB-PDC-VA-FPC=VAEBG-FPDC-4VP-AEB=6×8×10-4×16×6×8×10=160.答案C3.定义运算:(a⊕b)⊗x=ax2+bx+2.若关于x的不等式(a⊕b)⊗x<0的解集为{x|10,解得x<-23或x>1.答案D4.已知⃗OA=(cosθ1,2sinθ1),⃗OB=(cosθ2,2sinθ2),若⃗OA'=(cosθ1,sinθ1),⃗OB'=(cosθ2,sinθ2),且满足⃗OA'·⃗OB'=0,则△OAB的面积等于()A.12B.1C.2D.4解析由条件⃗OA'·⃗OB'=0,可得cos(θ1-θ2)=0.利用特殊值,如设θ1=π2,θ2=0,代入,则A(0,2),B(1,0),故△OAB的面积为1.答案B5.已知函数f(x)=4sin2π4+x-2❑√3cos2x+1且给定条件p:“π4≤x≤π2”,又给定条件q:“|f(x)-m|<2”,且p是q的充分条件,则实数m的取值范围是()A.(3,5)B.(-2,2)C.(1,3)D.(5,7)解析f(x)=4sin2π4+x-2❑√3cos2x+1=21-cosπ2+2x-2❑√3cos2x+1=2sin2x-2❑√3cos2x+3=4sin2x-π3+3.令t=2x-π3,当π4≤x≤π2时,f(x)=g(t)=4sint+3,π6≤t≤2π3,∴当π4≤x≤π2时,f(x)max=7,f(x)min=5. p是q的充分条件,∴对∀x∈π4,π2,|f(x)-m|<2恒成立,即m-2f(x)max,即{m-2<5,m+2>7,解得50,即(2m+1)(6m2-2m+1)<0. 6m2-2m+1>0,∴m<-12.即当m<-12时,抛物线上存在两点关于直线y=m(x-3)对称,所以如果抛物线y=x2上的所有弦都不能被直线y=m(x-3)垂直平分,那么m≥-12.答案A二、填空题7.若x,y∈R,集合A={(x,y)|x2+y2=1},B=(x,y)xa−yb=1,a>0,b>0,当A∩B有且只有一个元素时,a,b满足的关系式是.解析A∩B有且只有一个元素可转化为直线xa−yb=1与圆x2+y2=1相切,故圆心到直线的距离为|ab|❑√b2+a2=1. a>0,b>0,∴ab=❑√a2+b2.答案ab=❑√a2+b28.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an2+an,用[x]表示不超过x的最大整数,则1a1+1+1a2+1+…+1a2013+1=.解析因为1an+1=1an(an+1)=1an−1an+1,所以1an+1=1an−1an+1,所以1a1+1+1a2+1+…+1a2013+1=1a1−1a2+1a2−1a3+…+1a2013−1a2014=1a1−1a2014,又a1=1,所以1a2014∈(0,1),所以1a1−1a2014∈(0,1),故1a1−1a2014=0.答案09.在各棱长都等于1的正四面体OABC中,若点P满足⃗OP=x⃗OA+y⃗OB+z⃗OC(x+y+z=1),则|⃗OP|的最小值等于.解析因为点P满足⃗OP=x⃗OA+y⃗OB+z⃗OC(x+y+z=1),所以点P与A、B、C共面,即点P在平面ABC内,所以|⃗OP|的最小值等于点O到平面ABC的距离,也就是正四面体的高,为❑√63.答案❑√63三、解答题10.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC的中点,又∠CAD=30°,PA=AB=4,点N在线段PB上,且PNNB=13.(1)求证:BD⊥PC;(2)求证:MN∥平面PDC;(3)设平面PAB∩平面PCD=l,试问直线l是否与直线CD平行,请说明理由.(1)证明因为△ABC是正三角形,M是AC的中点,所以BM⊥AC,即BD⊥AC.又因为PA⊥平面ABCD,BD⊂...
