规范解答集训(四)立体几何(建议用时：40分钟)1．(2019·长沙模拟)已知三棱锥PABC(如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD为边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥PABC中：(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；(2)求三棱锥PABC的表面积和体积．图1图2[解](1)如图，设AC的中点为O，连接BO，PO.由题意，得PA＝PB＝PC＝，PO＝1，AO＝BO＝CO＝1.因为在△PAC中，PA＝PC，O为AC的中点，所以PO⊥AC.因为在△POB中，PO＝1，OB＝1，PB＝，所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB.因为AC∩OB＝O，AC，OB⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC，因为PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.(2)三棱锥PABC的表面积S＝×＋2××()2＝2＋，由(1)知，PO⊥平面ABC，所以三棱锥PABC的体积V＝S△ABC×PO＝××××1＝.2．如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，AD＝SD，BC＝CD＝AB，侧面SAD⊥底面ABCD.(1)求证：平面SBD⊥平面SAD；(2)若∠SDA＝120°，且三棱锥SBCD的体积为，求侧面△SAB的面积．[解](1)证明：设BC＝a，则CD＝a，AB＝2a，由题意知△BCD是等腰直角三角形，且∠BCD＝90°，则BD＝a，∠CBD＝45°，所以∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝45°，在△ABD中，AD＝＝a，因为AD2＋BD2＝4a2＝AB2，所以BD⊥AD，由于平面SAD⊥底面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面SAD，又BD⊂平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAD.(2)由(1)可知AD＝SD＝a，在△SAD中，∠SDA＝120°，SA＝2SDsin60°＝a，作SH⊥AD，交AD的延长线于点H.则SH＝SDsin60°＝a，由(1)知BD⊥平面SAD，因为SH⊂平面SAD，所以BD⊥SH，又AD∩BD＝D，所以SH⊥平面ABCD，所以SH为三棱锥SBCD的高，所以VSBCD＝×a××a2＝.解得a＝1，由BD⊥平面SAD，SD⊂平面SAD，可得BD⊥SD，则SB＝＝＝2，又AB＝2，SA＝，在等腰三角形SBA中，边SA上的高为＝，则△SAB的面积为××＝.3．(2019·福州质量检测)如图，在平行四边形ABCM中，D为CM的中点，以AD为折痕将△ADM折起，使点M到达点P的位置，且平面ABCD⊥平面PAD，E是PB的中点，AB＝2BC.(1)求证：CE∥平面PAD；(2)若AD＝2，AB＝4，求三棱锥APCD的高．[解](1)取AP的中点F，连接DF，EF，如图所示．因为点E是PB的中点，所以EF∥AB，且EF＝.因为四边形ABCM是平行四边形，D为CM的中点，所以AB∥CD，且CD＝.所以EF∥CD，且EF＝CD，所以四边形EFDC为平行四边形，所以CE∥DF，因为CE⊄平面PAD，DF⊂平面PAD，所以CE∥平面PAD.(2)取AD的中点O，连接PO，CO，如图所示．在平行四边形ABCM中，D为CM的中点，AB＝2BC，AD＝2，AB＝4，所以MD＝MA＝AD＝CD＝2，所以∠ADC＝120°，PD＝PA＝AD＝2，所以S△ACD＝×AD×CD×sin∠ADC＝×2×2×＝，OC＝，△ADP为正三角形，所以PO⊥AD，且PO＝.因为平面ABCD⊥平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OC，所以PC＝＝.在等腰三角形PCD中，易得S△PCD＝.设三棱锥APCD的高为h，因为VAPCD＝VPACD，所以S△PCD·h＝S△ACD·PO，所以h＝＝＝，所以三棱锥APCD的高为.4．如图，在直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝5，AA′＝AB＝6，D，E分别为AB和BB′上的点，且＝.(1)当D为AB的中点时，求证：A′B⊥CE；(2)当D在线段AB上运动时(不含端点)，求三棱锥A′CDE体积的最小值．[解](1)证明： D为AB的中点，∴E为B′B的中点， 三棱柱ABCA′B′C′为直三棱柱，AA′＝AB＝6，∴四边形ABB′A′为正方形，∴DE⊥A′B. AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB.由题意得平面ABB′A′⊥平面ABC，且平面ABB′A′∩平面ABC＝AB，CD⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABB′A′.又A′B⊂平面ABB′A′，∴CD⊥A′B.又CD∩DE＝D，∴A′B⊥平面CDE， CE⊂平面CDE，∴A′B⊥CE.(2)设AD＝x(0＜x＜6)，则BE＝x，DB＝6－x，B′E＝6－x，由已知可得点C到平面A′DE的距离即为△ABC的边AB上的高h，且h＝＝4，∴三棱锥A′CDE的体积VA′CDE＝VCA′DE＝(S四边形ABB′A′－S△AA′D－S△DBE－S△A′B′E)·h＝·h＝(x2－6x＋36)＝[(x－3)2＋27](0＜x＜6)，∴当x＝3，即D为AB的中点时，VA′CDE取得最小值，最小值为18.5．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AC与BD相交于点O，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC...
