2.4导数及其应用(压轴题)高考命题规律1.每年必考考题,一般在21题位置作为压轴题呈现.2.解答题,12分,高档难度.3.全国高考有4种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1利用导数研究函数的单调性2120命题角度2函数的单调性与极值、最值的综合应用21202121命题角度3利用导数研究函数的零点或方程的根21212120命题角度4导数与不等式21212121命题角度5恒成立与存在性问题命题角度1利用导数研究函数的单调性高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅲ·20)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当0
0,则当x∈(-∞,0)∪(a3,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(0,a3)时,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,0),(a3,+∞)单调递增,在(0,a3)单调递减;若a=0,f(x)在(-∞,+∞)单调递增;若a<0,则当x∈(-∞,a3)∪(0,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(a3,0)时,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,a3),(0,+∞)单调递增,在(a3,0)单调递减.(2)当00;当x∈(-1+❑√2,+∞)时,f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,-1-❑√2),(-1+❑√2,+∞)内单调递减,在(-1-❑√2,-1+❑√2)内单调递增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h'(x)=-xex<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)内单调递减,而h(0)=1,故h(x)≤1,所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.当00(x>0),所以g(x)在[0,+∞)内单调递增,而g(0)=0,故ex≥x+1.当0(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=❑√5-4a-12,则x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1.当a≤0时,取x0=❑√5-12,则x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1.综上,a的取值范围是[1,+∞).典题演练提能·刷高分1.已知函数f(x)=13x3+x2+ax+1.(1)若曲线y=f(x)在点(0,1)处切线的斜率为-3,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[-2,a]上单调递增,求a的取值范围.解(1)因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)经过点(0,1),又f'(x)=x2+2x+a,曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率为-3,所以f'(0)=a=-3,所以f'(x)=x2+2x-3.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-3)-3(-3,1)1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)增极大值减极小值增所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-3),(1,+∞),单调递减区间为(-3,1).(2)因为函数f(x)在区间[-2,a]上单调递增,所以f'(x)≥0.即对x∈[-2,a],只要f'(x)min≥0.因为函数f'(x)=x2+2x+a的对称轴为x=-1,当-2≤a≤-1时,f'(x)在[-2,a]上的最小值为f'(a),由f'(a)=a2+3a≥0,得a≥0或a≤-3,所以此种情况不成立;当a>-1时,f'(x)在[-2,a]上的最小值为f'(-1),由f'(-1)=1-2+a≥0得a≥1,综上,实数a的取值范围是[1,+∞).2.已知函数f(x)=(2-m)lnx+1x+2mx.(1)当f'(1)=0时,求实数m的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.解(1)函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2mx2+(2-m)x-1x2=(mx+1)(2x-1)x2,由f'(1)=0,解得m=-1.从而f(1)=-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-1.(2)由f'(x)=(mx+1)(2x-1)x2(x>0),当m≥0时,函数y=f(x)的减区间为0,12,增区间为12,+∞.当m<0时,由f'(x)=(mx+1)(2x-1)x2=0,得x=-1m,或x=12.当m<-2时,y=f(x)的减区间为0,-1m和12,+∞,增区间为-1m,12;当m=-2时,y=f(x)的减区间为(0,+∞),没有增区间.当-2
