7.2圆锥曲线的标准方程与性质命题角度1圆锥曲线的定义及标准方程高考真题体验·对方向1.(2019北京·4)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,则()A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b解析椭圆的离心率e=ca=12,c2=a2-b2,化简得3a2=4b2,故选B.答案B2.(2019全国Ⅱ·8)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8答案D解析 y2=2px的焦点坐标为p2,0,椭圆x23p+y2p=1的焦点坐标为(±❑√3p-p,0),∴3p-p=p24,解得p=8,故选D.3.(2017北京·9)若双曲线x2-y2m=1的离心率为❑√3,则实数m=.答案2解析由题意知a=1,b=❑√m,m>0,c=❑√a2+b2=❑√1+m,则离心率e=ca=❑√1+m=❑√3,解得m=2.4.(2016北京·13)双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.答案2解析 四边形OABC是正方形,∴∠AOB=45°,∴不妨设直线OA的方程即双曲线的一条渐近线的方程为y=x.∴ba=1,即a=b.又|OB|=2❑√2,∴c=2❑√2.∴a2+b2=c2,即a2+a2=(2❑√2)2,可得a=2.典题演练提能·刷高分1.(2019湖南长沙第一中学高三下学期高考模拟)若双曲线x2a2-y2=1(a>0)的实轴长为2,则其渐近线方程为()A.y=±xB.y=±❑√2xC.y=±12xD.y=±2x答案A解析由双曲线的实轴长为2,得a=1,又b=1,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.故选A.2.(2019江西新八校高三第二次联考)已知点P为抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是B,A点坐标为(3,4).则|PA|+|PB|的最小值是()A.5B.4C.2❑√5D.2❑√5-1答案D解析根据题意知抛物线的准线方程为x=-1,焦点F(1,0),由抛物线定义可得|PA|+|PB|=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1=❑√22+42-1=2❑√5-1.故选D.3.已知椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为()A.43B.1C.45D.34答案D解析由x24+y23=1得a=2,c=1,根据椭圆的定义可知△ABF1的周长为4a=8,△ABF1面积为12|F1F2|×|yA-yB|=12×2×3=3=12×8×r,解得r=34,故选D.4.已知点A(-1,0),B(1,0)为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点M在双曲线上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则该双曲线的方程为()A.x2-y24=1B.x2-y2=1C.x2-y23=1D.x2-y22=1答案B解析由点M在双曲线上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,得|AB|=|BM|,∠ABM=120°,过点M作MN⊥x轴,垂足为N,则∠NBM=60°,如图所示.在Rt△BNM中,|BM|=|AB|=2a,∠NBM=60°,则|BN|=2acos60°=a,|MN|=2asin60°=❑√3a,即M(2a,❑√3a),代入双曲线方程得4-3a2b2=1,即b2=a2. 点A(-1,0),B(1,0)为双曲线的左、右顶点,∴a=b=1,∴双曲线的方程为x2-y2=1.5.已知抛物线C:y2=8x上一点P,直线l1:x=-2,l2:3x-5y+30=0,则P到这两条直线的距离之和的最小值为()A.2B.2❑√34C.1615❑√34D.1817❑√34答案D解析由题意得直线l1:x=-2是抛物线的准线,设P到直线l1的距离为PA,点P到直线l2的距离为PB,所以P到这两条直线的距离之和为|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,当P,B,F三点共线时,距离之和最小.此时,最小值为|3×2-5×0+30|❑√32+(-5)2=1817❑√34,故选D.6.如图,椭圆x2a2+y24=1的焦点为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,交y轴于点H.若F1,H是线段MN的三等分点,则△F2MN的周长为()A.20B.10C.2❑√5D.4❑√5答案D解析由题意知H为线段F1N的中点,且F1(-c,0),b=2,由中点坐标公式得点N的横坐标为c,即NF2⊥x轴,所以Nc,4a,则H0,2a.又F1为线段HM的中点,由中点坐标公式可得M-2c,-2a,代入椭圆方程得4c2a2+1a2=1,∴a2=1+4c2,∴1+4c2=4+c2,∴c2=1,a2=b2+c2=5.由椭圆的定义可知,△F2MN的周长为4a=4❑√5.7.(2019北京昌平区高三年级第二次统一练习)已知双曲线C1:x2-y23=1,若抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为1,则抛物线C2的方程为.答案x2=8y解析双曲线C1:x2-y23=1的渐近线方程为❑√3x±y=0,抛物线的焦点坐标为0,p2,抛物线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为1,可得p2❑√1+3=1,解得p=4.故抛物线C2的方程为:x2=8y.命题角度2圆锥曲线的简单性质及其应用高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅰ·10)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C...
