3.1三角函数的概念、图象和性质命题角度1三角函数的定义及应用高考真题体验·对方向(2011江西·14)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴.若P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=-2❑√55,则y=.答案-8解析根据题意sinθ=-2❑√55<0及P(4,y)是角θ终边上一点,可知θ为第四象限角.再由三角函数的定义得,y❑√42+y2=-2❑√55, y<0,∴y=-8(合题意),y=8(舍去).综上知y=-8.典题演练提能·刷高分1.设角α的始边为x轴正半轴,则“α的终边在第一、二象限”是“sinα>0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件答案A解析α的终边在第一、二象限能推出sinα>0,当sinα>0成立时能推出α的终边在第一、第二象限及在y轴的非负半轴上,故“α的终边在第一、二象限”是“sinα>0”的充分不必要条件,选A.2.若sinθcosθ<0,tanθsinθ>0,则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案D解析由tanθsinθ>0,得1cosθ>0,即cosθ>0.又sinθcosθ<0,所以sinθ<0,所以θ为第四象限角,选D.3.在平面直角坐标系中,若角α的终边经过点Psin5π3,cos5π3,则sin(π+α)=()A.-❑√32B.-12C.12D.❑√32答案B解析由诱导公式可得sin53π=sin2π-π3=-sinπ3=-❑√32,cos53π=cos2π-π3=cosπ3=12,即P-❑√32,12,由三角函数的定义可得sinα=12❑√(-❑√32)2+(12)2=12,则sinπ+α=-sinα=-12.4.已知角α的终边经过点P(4a,3a)(a<0),则25sinα-7tan2α的值为.答案-39解析 角α的终边经过点P(4a,3a)(a<0),∴x=4a,y=3a,r=❑√(4a)2+(3a)2=-5a.∴sinα=3a-5a=-35,tanα=3a4a=34,∴tan2α=2tanα1-tan2α=2×341-(34)2=247,∴25sinα-7tan2α=25×-35-7×247=-39.5.已知角α的终边经过点P(-x,-6),且cosα=45,则x的值为.答案-8解析因为r=❑√(-x)2+(-6)2,所以-x❑√x2+36=45,解得x=-8.命题角度2三角恒等变换、化简与求值高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅰ·7)tan255°=()A.-2-❑√3B.-2+❑√3C.2-❑√3D.2+❑√3答案D解析tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)=tan45°+tan30°1-tan45°tan30°=1+❑√331-❑√33=2+❑√3.2.(2019全国Ⅱ·10)已知α∈0,π2,2sin2α=cos2α+1,则sinα=()A.15B.❑√55C.❑√33D.2❑√55答案B解析 2sin2α=cos2α+1,∴4sinαcosα=2cos2α. α∈0,π2,∴cosα>0,sinα>0,∴2sinα=cosα.又sin2α+cos2α=1,∴5sin2α=1,即sin2α=15. sinα>0,∴sinα=❑√55.故选B.3.(2018全国Ⅲ·4)若sinα=13,则cos2α=()A.89B.79C.-79D.-89答案B解析cos2α=1-2sin2α=1-2×(13)2=79.4.(2019全国Ⅰ·15)函数f(x)=sin(2x+3π2)-3cosx的最小值为.答案-4解析f(x)=sin(2x+3π2)-3cosx=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1=-2(cosx+34)2+178. -1≤cosx≤1,∴当cosx=1时,f(x)min=-4.故函数f(x)的最小值是-4.5.(2018全国Ⅱ·15)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.答案-12解析 (sinα+cosβ)2+(cosα+sinβ)2=1,∴sin2α+cos2β+cos2α+sin2β+2sinαcosβ+2sinβcosα=1+1+2sin(α+β)=1.∴sin(α+β)=-12.6.(2018全国Ⅰ·16)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是.答案-3❑√32解析由题意可得T=2π是f(x)=2sinx+sin2x的一个周期,所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在[0,2π)上的值域.由f(x)=2sinx+sin2x,得f'(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2.令f'(x)=0,可得cosx=12或cosx=-1,x∈[0,2π)时,解得x=π3或x=5π3或x=π.因为f(x)=2sinx+sin2x的最值只能在x=π3,x=5π3,x=π或x=0时取到,且f(π3)=3❑√32,f(5π3)=-3❑√32,f(π)=0,f(0)=0,所以函数f(x)的最小值为-3❑√32.7.(2017北京·12)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=13,则cos(α-β)=.答案-79解析方法一:因为角α与角β的终边关于y轴对称,根据三角函数定义可得sinβ=sinα=13,cosβ=-cosα,因此,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-(2❑√23)2+(13)2=-79.方法二:由角α与角β的终边关于y轴对称可得β=(2k+1)π-α,k∈Z,则cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos2α=2sin2α-1=2×(13)2-1=-79.典题演练提能·刷高分1.(2019河南郑州高三...
