4.2数列解答题高考命题规律1.高考命题的完全考题,常与解三角形解答题交替在第17题呈现.2.解答题,12分,中档难度.3.全国高考有3种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷命题角度1等差、等比数列的判定与证明1717171719命题角度2等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的应用1717171718命题角度3一般数列的通项公式与前n项和的求解17命题角度1等差、等比数列的判定与证明高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅱ·19)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列;(2)求{an}和{bn}的通项公式.(1)证明由题设得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+bn+1=12(an+bn).又因为a1+b1=1,所以{an+bn}是首项为1,公比为12的等比数列.由题设得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2.又因为a1-b1=1,所以{an-bn}是首项为1,公差为2的等差数列.(2)解由(1)知,an+bn=12n-1,an-bn=2n-1.所以an=12[(an+bn)+(an-bn)]=12n+n-12,bn=12[(an+bn)-(an-bn)]=12n-n+12.2.(2018全国Ⅰ·17)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=ann.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;(3)求{an}的通项公式.解(1)由条件可得an+1=2(n+1)nan.将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得an+1n+1=2ann,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得ann=2n-1,所以an=n·2n-1.3.(2017全国Ⅰ·17)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.解(1)设{an}的公比为q.由题设可得{a1(1+q)=2,a1(1+q+q2)=-6.解得q=-2,a1=-2.故{an}的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=a1(1-qn)1-q=-23+(-1)n2n+13.由于Sn+2+Sn+1=-43+(-1)n2n+3-2n+23=2[-23+(-1)n2n+13]=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.典题演练提能·刷高分1.(2019黑龙江哈尔滨第三中学高三上学期期中考试)已知数列{an}中,a1=32且an=12(an-1+n+1)(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3,并证明{an-n}是等比数列;(2)设bn=2n·an,求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)由题意,可知:a2=12(a1+2+1)=1232+2+1=94,a3=12(a2+3+1)=1294+3+1=258.①当n=1时,a1-1=32-1=12,②当n≥2时,an-n=12(an-1+n+1)-n=12an-1+12n+12-n=12an-1-12n+12=12(an-1-n+1)=12[an-1-(n-1)].∴数列{an-n}是以12为首项,12为公比的等比数列.(2)由(1)可知,an-n=12n,∴an=n+12n,n∈N*.∴bn=2n·an=2n·n+12n=n·2n+2n·12n=n·2n+1.∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=(1·21+1)+(2·22+1)+(3·23+1)+…+(n·2n+1),∴Sn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n+n,③2Sn=1·22+2·23+…+(n-1)·2n+n·2n+1+2n,④由③-④,可得:-Sn=1·21+1·22+1·23+…+1·2n-n·2n+1+n-2n=2-2n+11-2-n·2n+1-n=(1-n)·2n+1-n-2,∴Sn=(n-1)·2n+1+n+2.2.已知数列{an}的通项公式为an=2n-11.(1)求证:数列{an}是等差数列;(2)令bn=|an|,求数列{bn}的前10项和S10.(1)证明 an=2n-11,∴an+1-an=2(n+1)-11-2n+11=2(n∈N*),∴数列{an}为等差数列.(2)解由(1)得bn=|an|=|2n-11|,∴当n≤5时,bn=|2n-11|=11-2n;当n≥6时,bn=|2n-11|=2n-11.∴S10=[55-2(1+2+3+4+5)]+[2(6+7+8+9+10)-55]=50.3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1.(1)证明数列{an}是等比数列;(2)设bn=(2n-1)an,求数列{bn}的前n项和Tn.解(1)当n=1时,a1=S1=2a1-1,所以a1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1),所以an=2an-1,所以数列{an}是以a1=1为首项,以2为公比的等比数列.(2)由(1)知,an=2n-1,所以bn=(2n-1)2n-1,所以Tn=1+3×2+5×22+…+(2n-3)·2n-2+(2n-1)·2n-1①,2Tn=1×2+3×22+…+(2n-3)·2n-1+(2n-1)·2n②,①-②得-Tn=1+2(21+22+…+2n-1)-(2n-1)·2n=1+2×2-2n-1×21-2-(2n-1)2n=(3-2n)2n-3,所以Tn=(2n-3)2n+3.4.设a1=2,a2=4,数列{bn}满足:bn+1=2bn+2且an+1-an=bn.(1)求证:数列{bn+2}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.解(1)由题知bn+1+2bn+2=2bn+2+2bn+2=2,又 b1=a2-a1=4-...
