1.4平面向量命题角度1平面向量的线性运算、平面向量基本定理高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·6)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则⃗EB=()A.34⃗AB−14⃗ACB.14⃗AB−34⃗ACC.34⃗AB+14⃗ACD.14⃗AB+34⃗AC答案A解析如图,⃗EB=-⃗BE=-12¿)=12⃗AB−14⃗BC=12⃗AB−14¿)=34⃗AB−14⃗AC.2.(2017全国Ⅲ·12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AD,则λ+μ的最大值为()A.3B.2❑√2C.❑√5D.2答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,1),B(0,0),D(2,1).设P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=|BC|·|CD||BD|=2×1❑√5=2❑√55,即圆的方程是(x-2)2+y2=45.易知⃗AP=(x,y-1),⃗AB=(0,-1),⃗AD=(2,0).由⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AD,得{x=2μ,y-1=-λ,所以μ=x2,λ=1-y,所以λ+μ=12x-y+1.设z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0.因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=45上,所以圆心C到直线12x-y+1-z=0的距离d≤r,即|2-z|❑√14+1≤2❑√55,解得1≤z≤3,所以z的最大值是3,即λ+μ的最大值是3,故选A.3.(2015全国Ⅰ·7)设D为△ABC所在平面内一点,⃗BC=3⃗CD,则()A.⃗AD=-13⃗AB+43⃗ACB.⃗AD=13⃗AB−43⃗ACC.⃗AD=43⃗AB+13⃗ACD.⃗AD=43⃗AB−13⃗AC答案A解析如图: ⃗AD=⃗AB+⃗BD,⃗BC=3⃗CD,∴⃗AD=⃗AB+43⃗BC=⃗AB+43¿)=-13⃗AB+43⃗AC.4.(2015全国Ⅱ·13)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.答案12解析由题意知存在常数t∈R,使λa+b=t(a+2b),得{λ=t,1=2t,解之得λ=12.典题演练提能·刷高分1.已知两个非零向量a,b互相垂直,若向量m=4a+5b与n=2a+λb共线,则实数λ的值为()A.5B.3C.2.5D.2答案C解析 向量m=4a+5b与n=2a+λb共线,∴存在实数t,使得m=tn,即4a+5b=t(2a+λb),又向量a,b互相垂直,故a,b不共线.∴{2t=4,tλ=5,解得{t=2,λ=52.故选C.2.在平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,BE与AC的交点为F,设⃗AB=a,⃗AD=b,则向量⃗BF=()A.13a+23bB.-13a-23bC.-13a+23bD.13a-23b答案C解析⃗BF=23⃗BE=23¿)=23(b-12a)=-13a+23b,故选C.3.(2019宁夏平罗中学高三期中)已知数列{an}是正项等差数列,在△ABC中,⃗BD=t⃗BC(t∈R),若⃗AD=a3⃗AB+a5⃗AC,则a3a5的最大值为()A.1B.12C.14D.18答案C解析 ⃗BD=t⃗BC,故B,C,D三点共线. ⃗AD=a3⃗AB+a5⃗AC,∴a3+a5=1,数列{an}是正项等差数列,故a3>0,a5>0,∴1=a3+a5≥2❑√a3a5,解得a3a5≤14,故选C.4.(2019山东实验中学等四校高三联考)如图Rt△ABC中,∠ABC=π2,AC=2AB,∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D,设⃗AB=a,⃗AC=b,则向量⃗AD=()A.a+bB.12a+bC.a+12bD.a+23b答案C解析设圆的半径为r,在Rt△ABC中,∠ABC=π2,AC=2AB,所以∠BAC=π3,∠ACB=π6,∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D,所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=π6,则根据圆的性质有BD=CD=AB.又因为在Rt△ABC中,AB=12AC=r=OD,所以四边形ABDO为菱形,所以⃗AD=⃗AB+⃗AO=a+12b.故选C.5.已知在△ABC中,D为边BC上的点,且BD=3DC,点E为AD的中点,⃗BE=m⃗AB+n⃗AC,则m+n=.答案-12解析如图所示,⃗BE=⃗BD+⃗DE=⃗BD−12⃗AD=⃗BD−12¿)=12⃗BD−12⃗AB=12·34⃗BC−12⃗AB=38⃗BC−12⃗AB=38¿)-12⃗AB=-78⃗AB+38⃗AC.又⃗BE=m⃗AB+n⃗AC,所以m⃗AB+n⃗AC=-78⃗AB+38⃗AC,所以m+78⃗AB+n-38⃗AC=0.又因为⃗AB与⃗AC不共线,所以m=-78,n=38,所以m+n=-12.6.在平面向量中有如下定理:设点O,P,Q,R为同一平面内的点,则P、Q、R三点共线的充要条件是:存在实数t,使⃗OP=(1-t)⃗OQ+t⃗¿.试利用该定理解答下列问题:如图,在△ABC中,点E为AB边的中点,点F在AC边上,且CF=2FA,BF交CE于点M,设⃗AM=x⃗AE+y⃗AF,则x+y=.答案75解析 B,M,F三点共线,∴存在实数t,使得⃗AM=(1-t)⃗AB+t⃗AF,又⃗AB=2⃗AE,⃗AF=13⃗AC,∴⃗AM=2(1-t)⃗AE+13t⃗AC,又E,M,C三点共线,∴2(1-t)+13t=1,解得t=35.∴⃗AM=2(1-t)⃗AE+t⃗AF=45⃗AE+35⃗AF,∴x=45,y=35,x+y=75.命题角度2平面向量的坐标运算高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅱ·3)已知⃗AB=(2,3),⃗AC=(3,t),|⃗BC|=1,则⃗AB·⃗BC=()A.-3B.-2C.2D.3答案C解析由⃗BC=⃗AC−⃗AB=(1,t-3),|⃗BC|=❑√12+(t-3)2=1,得t=3,则⃗BC=(1,0).所以⃗AB·⃗BC=(2,3)·(1,0)=2×1+3...
