第43练数列小题综合练[基础保分练]1．在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝1－，则a2019的值为()A．－2B.C.D.2．在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝29，则a3＋a6＋a9等于()A．13B．18C．20D．223．(2019·福建省莆田市第一中学月考)已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a20·a50·a80等于()A．32B．64C．256D．±64．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递增，若数列{an}是等差数列，且a3>0，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＋f(a5)的值()A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0D．可正可负5．(2018·海南联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，an＋an＋1＝2n＋1，则等于()A．1010B．1008C．2D．16．已知函数f(x)＝x2＋ax的图象在点A(0，f(0))处的切线l与直线2x－y＋2＝0平行，若数列的前n项和为Sn，则S20的值为()A.B.C.D.7．两个等差数列{an}和{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则等于()A.B.C.D.8．(2019·宁夏石嘴山市第三中学月考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S8＝36，则数列的前n项和为()A.B.C.D.9．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，且数列{}也为等差数列，则a10＝________.10．已知数列{an}满足：an－(－1)nan－1＝n(n≥2)，记Sn为{an}的前n项和，则S40＝________.[能力提升练]1．已知数列{an}中，an>0，a1＝1，an＋2＝，a100＝a96，则a2018＋a3等于()A.B.C.D.2．(2019·湖南省桃江县第一中学月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为()A．2B．3C．4D．53．已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1＝1且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝2(n∈N*且n≥2)，则a81等于()A．641B．640C．639D．6384．(2019·北京工业大学附属中学月考)若三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足＋＝，则称x1，x2，x3成一个“β等差数列”．已知集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为()A．25B．50C．51D．1005．对于数列{an}，定义Hn＝为{an}的“优值”，现在已知某数列{an}的“优值”Hn＝2n＋1，记数列{an－kn}的前n项和为Sn，若Sn≤S5对任意的正整数n恒成立，则实数k的取值范围是________．6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，bn＝a3n－2＋a3n－1＋a3n，且b1＝6，b2＝9，则的最小值为________．答案精析基础保分练1．B2.A3.B4.A5.A6.A7.D8．B[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.∵a5＝5，S8＝36，∴∴∴an＝n，则＝＝－，∴数列的前n项和为－＋－＋－＋…＋－＝1－＝，故选B.]9．1910.440能力提升练1．C[∵a1＝1，an＋2＝，∴a3＝＝.∵a100＝a96，∴a96＝a100＝＝，整理得a＋a96－1＝0，解得a96＝或a96＝，∵an>0，∴a96＝.∴a98＝＝，a100＝＝，…，a2018＝＝.∴a2018＋a3＝＋＝.故选C.]2．C[因为S4＝2(a2＋a3)，所以a2＋a3≥5，又S5＝5a3，所以a3≤3，而a4＝3a3－(a2＋a3)，故a4≤4，当a2＝2，a3＝3时等号成立，所以a4的最大值为4.]3．B[因为Sn－Sn－1＝2，所以－＝2，即{}为等差数列，首项为1，公差为2，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以Sn＝(2n－1)2，因此a81＝S81－S80＝1612－1592＝640，故选B.]4．B[由三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足＋＝，知消去x2，并整理得(2x1＋x3)(x1－x3)＝0.所以x1＝x3(舍去)，x3＝－2x1，于是有x2＝－x1.在集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}中，三个元素组成的所有数列必为整数列，所以x1必为2的倍数，且x1∈[－50,50]，x1≠0，故这样的数组共50组．]5.解析由题意，Hn＝＝2n＋1，则a1＋2a2＋…＋2n－1an＝n2n＋1.n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝(n－1)2n，两式相减，则2n－1an＝n2n＋1－(n－1)2n＝(n＋1)2n，则an＝2(n＋1)，对a1也成立，故an＝2(n＋1)，∴an－kn＝(2－k)n＋2，记bn＝an－kn，则数列{bn}为等差数列，故Sn≤S5对任意的正整数n恒成立化为b5≥0，b6≤0，即解得≤k≤，则实数k的取值范围是.6．8解析设等差数列{an}的公差为d，∵bn＝a3n－2＋a3n－1＋a3n，∴b1＝a1＋a2＋a3＝6，b2＝a4＋a5＋a6＝9，∴b2－b1＝3d＋3d＋3d＝9－6，解得d＝，∴a1＋a1＋＋a1＋＝6，解得a1＝，∴Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝，∴bn＝a3n－2＋a3n－1＋a3n＝＋(3n－2－1)×＋＋(3n－1－1)×＋＋(3n－1)×＝3n＋3＝3(n＋1)，∴＝＝＝＝≥＝8，当且仅当n＝3时取等号，故答案为8.
