第1讲三角函数与三角变换一、填空题1．(·苏北四市模拟)若sin＝，则sin＝______.解析sin＝－cos＝－cos＝2sin2－1＝－.答案－2．(·南京、盐城模拟)设函数f(x)＝cos(2x＋φ)“，则f(x)”“是奇函数是φ”＝的______条件．解析φ＝⇒f(x)＝cos＝－sin2x为奇函数，∴“f(x)”“是奇函数是φ”＝的必要条件．又f(x)＝cos(2x＋φ)是奇函数⇒f(0)＝0⇒φ＝＋kπ(k∈Z)φ＝.∴“f(x)”“是奇函数不是φ”＝的充分条件．答案必要不充分3．(·苏锡常镇模拟)已知cos＋sinα＝，则sin的值是________．解析cos＋sinα＝cosα＋sinα＝，∴cosα＋sinα＝，即sin＝.故sin＝－sin＝－.答案－4．(·安徽卷)若将函数f(x)＝sin的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．解析f(x)＝sin――→g(x)＝sin＝sin，关于y轴对称，即函数g(x)为偶函数，则－2φ＝kπ＋，∴φ＝－π－(k∈Z)，显然，k＝－1时，φ有最小正值－＝.答案5．(·苏北四市调研)已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在[－1,1]上的单调增区间为________．解析因为函数f(x)的最大值是2，所以最小正周期T＝2＝，解得ω＝，所以f(x)＝2sin，当2kπ≤－πx≤－2kπ＋，k∈Z，即2k≤－x≤2k＋，k∈Z时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)在x∈[－1,1]上的单调递增区间是.答案6．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.解析由题意知f(x)的一条对称轴为直线x＝，和它相邻的一个对称中心为原点，则f(x)的周期T＝，从而ω＝.答案7．已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是______．解析由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝3sin，那么当x∈≤时，－2x≤－，≤所以－sin(2x－)≤1，故f(x)∈.答案8．给出下列说法：①正切函数在定义域内是增函数；②函数f(x)＝2tan的单调递增区间是(k∈Z)；③函数y＝2tan的定义域是；④函数y＝tanx＋1在上的最大值为＋1，最小值为0.其中正确说法的序号是________．解析①正切函数在定义域内不具有单调性，故错误；②由kπ－＜x＋＜kπ＋(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，故正确；③由2x≠＋＋kπ(k∈Z)，解得x≠＋(k∈Z)，故错误；④因为函数y＝tanx＋1在上单调递增，所以x＝时取得最大值为＋1，x＝－时取得最小值为0，故正确，所以正确说法是②④.答案②④二、解答题9．(·宿迁摸底改编)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象的一部分如图所示．.(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．解(1)由图象知A＝2，T＝8＝，∴ω＝，得f(x)＝2sin.由×1＋φ＝2kπ＋⇒φ＝2kπ＋，又|φ|<，∴φ＝.∴f(x)＝2sin.(2)y＝2sin＋2sin＝2sin＋2cos.＝2sin＝2cosx，∵x∈，∴x∈，∴当x＝－，即x＝－时，y的最大值为；当x＝－π，即x＝－4时，y的最小值为－2.10．(·江苏卷)已知α∈，sinα＝.(1)求sin的值；(2)求cos的值．解(1)因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－＝－.故sin＝sincosα＋cossinα＝×＋×＝－.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，所以cos＝coscos2α＋sinsin2α＝×＋×＝－.11．(·苏北四市调研)已知函数f(x)＝sin·sin＋sinxcosx(x∈R)．(1)求f的值；(2)在△ABC中，若f＝1，求sinB＋sinC的最大值．解(1)f(x)＝sinsin＋sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝sin，所以f＝1.(2)由f＝1，有f＝sin＝1，因为0＜A＜π，所以A＋＝，即A＝.sinB＋sinC＝sinB＋sin＝sinB＋cosB＝sin.因为0＜B＜，所以＜B＋＜π，0＜sin≤1，所以sinB＋sinC的最大值为.
