第2讲解三角形问题一、填空题1．(·西安模拟)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝________.解析因为asinAsinB＋bcos2A＝a，所以由正弦定理，得sinAsinAsinB＋sinB＝sinA，即sinB＝sinA，所以＝.答案2．(·益阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asinA＋bsinB－csinC＝asinB，则角C等于________．解析由正弦定理，得a2＋b2－c2＝ab，所以cosC＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.答案3．(·吉林省实验中学一模)在△ABC中，sin(A＋B)·sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是________三角形．解析因为sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，所以sin(A－B)＝sinC，又因为A，B，C为△ABC的内角，所以A－B＝C，所以A＝90°，所以△ABC为直角三角形．答案直角4．(·福建卷)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．解析由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，∴12＝AB2＋16－2×AB×4×cos60°，解得AB＝2，∴S△ABC＝·AB·AC·sinA＝×2×4×sin60°＝2.答案25．(·福州模拟)在△ABC中，BC＝1，B＝，△ABC的面积S＝，则sinC＝________.解析因为在△ABC中，BC＝1，B＝，△ABC的面积S＝，所以S△ABC＝BC×BAsinB＝，即×1×BA×＝，解得BA＝4.又由余弦定理，得AC2＝BC2＋BA2－2BC·BAcosB，即得AC＝，由正弦定理，得＝，解得sinC＝.答案6．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC．则A的取值范围是________．解析由题意结合正弦定理，得a2≤b2＋c2－bc⇒b2＋c2－a2≥bc⇒≥1⇒cosA≥，A为△ABC内角⇒0＜A≤.答案7．(·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a,2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．解析∵2sinB＝3sinC，由正弦定理得2b＝3c，∴b＝c，又b－c＝a，∴a＝4(b－c)，∴a＝2c.∴cosA＝＝＝－.答案－8．(·苏北四市模拟)在△ABC中，AD为BC边上的高线，AD＝BC，角A，B，C的对边为a，b，c，则＋的取值范围是________．解析因为AD＝BC＝a，由a2＝bcsinA，解得sinA＝，再由余弦定理得cosA＝＝＝，得＋＝2cosA＋sinA，又A∈(0，π)，所以由基本不等式和辅助角公式得＋的取值范围是[2，]．答案[2，]二、解答题9．(·北京卷)如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．解(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcos∠B－cos∠ADCsin∠B＝×－×＝.(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝82＋52－2×8×5×＝49.所以AC＝7.10．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，B＝，b＝，求a＋c的范围．解法一由B＝，得A＋C＝.所以sinA＋sinC＝sinA＋sin＝sinA＋＝sinA＋cosA＝sin.又0＜A＜，所以＜A＋＜.所以＜sin≤1.所以sinA＋sinC∈.由正弦定理，得＝＝＝＝2，所以a＋c＝2sinA＋2sinC＝2(sinA＋sinC)．所以a＋c∈(，2]．法二由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos＝(a＋c)2－2ac＋ac＝(a＋c)2－ac≥(a＋c)2－2＝，当且仅当a＝c时，取等号．所以(a＋c)2≤4，故a＋c≤2.又a＋c＞b＝，所以＜a＋c≤2，即a＋c∈(，2]．11.(·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝，cosC＝.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解(1)在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝.从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.由正弦定理＝，得AB＝·sinC＝×＝1040(m)．所以索道AB的长为1040m.(2)设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理＝，得BC＝·sinA＝×＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤≤－3≤，解得v≤，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．
