第3讲平面向量的线性运算及综合应用一、填空题1．(·重庆卷改编)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝________.解析因为2a－3b＝(2k－3，－6)，且(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.答案32．(·河南十所名校联考)在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若CM＝－2CA＋λCB，则λ＝________.解析由点A，B，M三点共线知：－2＋λ＝1，所以λ＝3.答案33．(·龙岩期末考试)在平面直角坐标系中，菱形OABC的两个顶点为O(0,0)，A(1,1)，且OA·OC＝1，则AB·AC＝________.解析依题意，|OA|＝|OC|＝|AB|＝，OA·OC＝|OA||OC|cos∠AOC＝1，cos∠AOC＝，∠AOC＝，则|AC|＝|OA|＝|OC|＝，∠BAC＝，AB·AC＝|AB||AC|cos∠BAC＝1.答案14．(·天一、淮阴、海门中学联考)在△ABC中，已知AB·AC＝4，AB·BC＝－12，则|AB|＝________.解析将AB·AC＝4，AB·BC＝－12两式相减得AB·(AC－BC)＝AB2＝16，则|AB|＝4.答案45．(·山东卷)在△ABC中，已知AB·AC＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为________．解析由A＝，AB·AC＝tanA，得|AB|·|AC|·cosA＝tanA，即|AB|·|AC|×＝，∴|AB|·|AC|＝，∴S△ABC＝|AB|·|AC|·sinA＝××＝.答案6．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a与b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，则向量a与c的夹角为________．解析因为a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)．所以|c|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cos60°＝3.所以|c|＝.又c·a＝－(a＋b)·a＝－a2－a·b＝－1－cos60°＝－，设向量c与a的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.答案150°7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足BM＝2MA，则CM·CB＝________.解析法一如图建立平面直角坐标系．由题意知：A(3,0)，B(0,3)，设M(x，y)，由BM＝2MA，得解得即M点坐标为(2,1)，所以CM·CB＝(2,1)·(0,3)＝3.法二CM·CB＝(CB＋BM)·CB＝CB2＋CB×＝CB2＋CB·(CA－CB)＝CB2＝3.答案38．(·杭州质量检测)在△AOB中，G为△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若OA·OB＝6，则|OG|的最小值是________．解析如图，在△AOB中，OG＝OE＝×(OA＋OB)＝(OA＋OB)，又OA·OB＝|OA||OB|·cos60°＝6，∴|OA||OB|＝12，∴|OG|2＝(OA＋OB)2＝(|OA|2＋|OB|2＋2OA·OB)＝(|OA|2＋|OB|2＋12)≥×＝×36＝4(当且仅当|OA|＝|OB|时取等号)．∴|OG|≥2，故|OG|的最小值是2.答案2二、解答题9．(·江苏卷)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．(1)证明由|a－b|＝，即(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2，整理得cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即a·b＝0，因此a⊥b.(2)解由已知条件cosβ＝－cosα＝cos(π－α)，由0<α<π，得0<π－α<π，又0<β<π，故β＝π－α.则sinα＋sin(π－α)＝1，即sinα＝，故α＝或α＝.当α＝时，β＝(舍去)，当α＝时，β＝.所以，α，β的值分别为，.10．已知向量m＝(sinx，－1)，n＝(cosx,3)．(1)当m∥n时，求的值；(2)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，c＝2asin(A＋B)，函数f(x)＝(m＋n)·m，求f的取值范围．解(1)由m∥n，可得3sinx＝－cosx，于是tanx＝－，∴＝＝＝－.(2)在△ABC中A＋B＝π－C，于是sin(A＋B)＝sinC，由正弦定理，得sinC＝2sinAsinC，∵sinC≠0，∴sinA＝.又△ABC为锐角三角形，∴A＝，于是
