高考数学二轮复习 专题整合 7-4 不等式选讲(选做部分） 理（含最新原创题，含解析）VIP专享VIP免费

【创新设计】（江苏专用）高考数学二轮复习专题整合7-4不等式选讲(选做部分）理（含最新原创题，含解析）1．(·江苏卷)已知实数x，y满足：|x＋y|＜，|2x－y|＜，求证：|y|＜.证明因为3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题设知，|x＋y|＜，|2x－y|＜，从而3|y|＜＋＝，所以|y|＜.2．(·新课标全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝|x＋|＋|x－a|(a＞0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)＜5，求a的取值范围．(1)证明由a＞0，有f(x)＝|x＋|＋|x－a|≥|x＋－(x－a)|＝＋a≥2.所以f(x)≥2.(2)解f(3)＝|3＋|＋|3－a|.当a＞3时，f(3)＝a＋，由f(3)＜5得3＜a＜.当0＜a≤3时，f(3)＝6－a＋，由f(3)＜5得＜a≤3.综上，a的取值范围是.3．(·江苏卷)解不等式：x＋|2x－1|＜3.解原不等式可化为或解得≤x＜或－2＜x＜.所以不等式的解集是{x|－2＜x＜}．4．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．证明法一因为a、b、c均为正数，由平均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①＋＋≥3(abc)－，②所以2≥9(abc)－.故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc)－.又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．法二因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①同理＋＋≥＋＋，②故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③所以原不等式成立，当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．5．设a，b，c为正实数，求证：＋＋＋abc≥2.证明因为a，b，c为正实数，由均值不等式可得＋＋≥3，即＋＋≥.所以＋＋＋abc≥＋abc.而＋abc≥2＝2，所以＋＋＋abc≥2.6．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)>2；(2)求函数y＝f(x)的最小值．解(1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝当x<－时，由f(x)＝－x－5>2得x<－7，∴x<－7；当－≤x<4时，由f(x)＝3x－3>2得x>，∴2，得x>－3，∴x≥4.故原不等式的解集为.(2)画出f(x)的图象如图：∴f(x)min＝－.