规范练(五)数列问题1．已知n∈N*，数列{dn}满足dn＝，数列{an}满足an＝d1＋d2＋d3……＋＋d2n；数列{bn}为公比大于1的等比数列，且b2，b4为方程x2－20x＋64＝0的两个不相等的实根．(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；(2)将数列{bn}中的第a1项，第a2项，第a3……项，，第an……项，删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{cn}，求数列{cn}的前2015项和．解(1)∵dn＝，∴an＝d1＋d2＋d3…＋＋d2n＝＝3n.因为b2，b4为方程x2－20x＋64＝0的两个不相等的实数根．所以b2＋b4＝20，b2·b4＝64，解得：b2＝4，b4＝16，所以：bn＝2n.(2)由题知将数列{bn}中的第3项、第6项、第9……项删去后构成的新数列{cn}中的奇数项与偶数项仍成等比数列，首项分别是b1＝2，b2＝4，公比均是8，T2015＝(c1＋c3＋c5…＋＋c2015)＋(c2＋c4＋c6…＋＋c2014)．＝＋＝.2．已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋n2－1，数列{bn}满足3nbn＋1＝(n＋1)an＋1－nan，且b1＝3.(1)求an，bn；(2)设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn，并求满足Tn＜7时n的最大值．解(1)n≥2时，Sn＝an＋n2－1，Sn－1＝an－1＋(n－1)2－1，两式相减，得an＝an－an－1＋2n－1，∴an－1＝2n－1.∴an＝2n＋1，∴3n·bn＋1＝(n＋1)(2n＋3)－n(2n＋1)＝4n＋3，∴bn＋1＝，∴当n≥2时，bn＝，又b1＝3适合上式，∴bn＝.(2)由(1)知，bn＝，∴Tn…＝＋＋＋＋＋，①Tn…＝＋＋＋＋＋，②①－②，得Tn＝3…＋＋＋＋－＝3＋4·－＝5－.∴Tn＝－.Tn－Tn＋1＝－＝＜0.∴Tn＜Tn＋1，即{Tn}为递增数列．又T3＝＜7，T4＝＞7，∴Tn＜7时，n的最大值为3.3．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差数列{bn}满足b3＝3，b5＝9.(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝(n∈N*)，求证：cn＋1＜cn≤.(1)解由an＋1＝2Sn＋1，①得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，②①－②得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，∴an＋1＝3an，即＝3，又当n＝1时，＝3也符合上式，∴an＝3n－1.由数列{bn}为等差数列，b3＝3，b5＝9，设{bn}公差为d，∴b5－b3＝9－3＝2d，∴d＝3，∴bn＝3n－6.(2)证明由(1)知：an＋2＝3n＋1，bn＋2＝3n，所以cn＝＝，所以cn＋1－cn＝＜0，∴cn＋1＜cn…＜＜c1＝，∴cn＋1＜cn≤.4．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a5和a7的等差中项为11，且a2·a5＝a1·a14，令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.(1)求an及Tn；(2)是否存在正整数m，n(1＜m＜n)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．解(1)因为{an}为等差数列，设公差为d，则由题意得即整理得⇒所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.由bn＝＝＝(－)所以Tn＝(1…－＋－＋＋－)＝.(2)假设存在．由(1)知，Tn＝，所以T1＝，Tm＝，Tn＝，若T1，Tm，Tn成等比数列，则有T＝T1·Tn⇒()2＝·⇒＝⇒＝⇒……＝，①因为n＞0，所以4m＋1－2m2＞0⇒1－＜m＜1＋，因为m∈N*，m＞1，∴m＝2，当m＝2时，带入①式，得n＝12.综上，当m＝2，n＝12时可以使T1，Tm，Tn成等比数列．
