立体几何一、填空题1．(·徐州质检)已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为________．解析利用圆柱的侧面积公式求解，该圆柱的侧面积为2π×1×2＝4π，一个底面圆的面积是π，所以该圆柱的表面积为4π＋2π＝6π.答案6π2．(·苏、锡、常、镇调研)已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD＝2.将△ABC沿AD折成60°的二面角，连接BC，则三棱锥CABD的体积为________．解析由题意可得∠CDB＝60°，DC＝DB，所以△DCB是边长为2的等边三角形，且AD⊥平面DCB，所以三棱锥CABD的体积为S△BCD·AD＝××2×2sin60°×2＝.答案3．(·淮安信息卷)棱长为的正四面体的外接球半径为________．解析棱长为的正四面体可以放入棱长为1的正方体内，所以其外接球直径为2R＝，则该外接球的半径为.答案4．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列4组条件中所有能推得a⊥b的条件是________(填序号)．①a⊂α，b∥β，α⊥β；②a⊥α，b⊥β，α⊥β；③a⊂α，b⊥β，α∥β；④a⊥α，b∥β，α∥β.解析由①a⊂α，b∥β，α⊥β可能得到两直线垂直，平行或异面，②③④均能得到两直线垂直，故填写②③④.答案②③④5.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．解析 EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，又 E是AD的中点，∴F是CD的中点，即EF是△ACD的中位线，∴EF＝AC＝×2＝.答案6．(·南通、扬州、泰州、宿迁调研)设l，m表示直线，m是平面α内的任意一条直线，“则l⊥m”“是l⊥α”成立的________条件(“”“”“”“在充分不必要必要不充分充要既不充”分又不必要中选填一个)．解析因为m是平面α内的任意一条直线，若l⊥m，则l⊥α，所以充分性成立；反过来，若l⊥α，则l⊥m，所以必要性成立，故“l⊥m”是“l⊥α”成立的充要条件．答案充要7．(·泰州模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别在AB1，BC1上(M，N不与B1，C1重合)，且AM＝BN，那么①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN与A1C1异面．以上4个结论中，正确结论的序号是________．解析过M作MP∥AB交BB1于P，连接NP，则平面MNP∥平面A1C1，所以MN∥平面A1B1C1D1，又AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥MN.当M与B1重合，N与C1重合时，则A1C1与MN相交，所以①③正确．答案①③8．(·扬州中学模拟)在正三棱锥PABC中，M，N分别是PB，PC的中点，若截面AMN⊥平面PBC，则此棱锥中侧面积与底面积的比为________．解析取BC的中点D，连接AD，PD，且PD与MN的交点为E.因为AM＝AN，E为MN的中点，所以AE⊥MN，又截面AMN⊥平面PBC，所以AE⊥平面PBC，则AE⊥PD，又E点是PD的中点，所以PA＝AD.设正三棱锥PABC的底面边长为a，则侧棱长为a，斜高为a，则此棱锥中侧面积与底面积的比为＝.答案二、解答题9.(·泰州学情调研)如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD为菱形，OA⊥平面ABCD，E为OA的中点，F为BC的中点，求证：(1)平面BDO⊥平面ACO；(2)EF∥平面OCD.证明(1) OA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以OA⊥BD， ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又OA∩AC＝A，∴BD⊥平面OAC，又 BD⊂平面OBD，∴平面BDO⊥平面ACO.(2)取OD中点M，连接EM，CM，则ME∥AD，ME＝AD， ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC， F为BC的中点，∴CF∥AD，CF＝AD，∴ME∥CF，ME＝CF.∴四边形EFCM是平行四边形，∴EF∥CM，又 EF⊄平面OCD，CM⊂平面OCD.∴EF∥平面OCD.10．(·威海一模)如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，∠BAF＝60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．(1)求证：平面ADF⊥平面CBF；(2)求证：PM∥平面AFC；(3)求多面体CD－AFEB的体积V.(1)证明 矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABEF，又AF⊂平面ABEF，所以CB⊥AF，又AB＝2，AF＝1，∠BAF＝60°，由余弦定理知BF＝，∴AF2＋BF2＝AB2，得AF⊥BF，又BF∩CB＝B，∴AF⊥平面CFB，又 AF⊂平面ADF，∴平面ADF⊥平面CBF.(2)证明连接OM并延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，∴PH∥CF，又 CF⊂...
