专题三数列第1讲等差、等比数列的基本问题(建议用时：60分钟)一、选择题1．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于()．A.B．－C．D．－解析设等比数列{an}的公比为q，由S3＝a2＋10a1得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，q2＝9，又a5＝a1q4＝9，所以a1＝.答案C2．在等差数列{an}中，若a2＋a3＝4，a4＋a5＝6，则a9＋a10等于()．A．9B．10C．11D．12解析设等差数列{an}的公差为d，则有(a4＋a5)－(a2＋a3)＝4d＝2，所以d＝.又(a9＋a10)－(a4＋a5)＝10d＝5，所以a9＋a10＝(a4＋a5)＋5＝11.答案C3．在正项等比数列{an}中，3a1，a3,2a2成等差数列，则等于()．A．3或－1B．9或1C．1D．9解析依题意，有3a1＋2a2＝a3，即3a1＋2a1q＝a1q2，解得q＝3，q＝－1(舍去)，＝＝＝9.答案D4．(·郑州模拟)在等比数列{an}中，若a4，a8是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a6的值是()．A.B．－C．±D．±3解析依题意得，a4＋a8＝4，a4a8＝3，故a4>0，a8>0，因此a6>0(注：在一个实数等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同)，a6＝＝.答案A5．(·济南模拟)在等差数列{an}中，a1＝－2014，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2014的值等于()．A．－2011B．－2012C．－2014D．－2013解析根据等差数列的性质，得数列也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项＝a1＝－2014，公差d＝1，故＝－2014＋(2014－1)×1＝－1，所以S2014＝－2014.答案C6．(·辽宁卷)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为()．A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4解析设an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an＝3n－12，则满足已知，但nan＝3n2－12n并非递增数列，所以p2为假命题；若an＝n＋1，则满足已知，但＝1＋是递减数列，所以p3为假命题；设an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是递增数列，所以p4为真命题．答案D7．(·新课标全国Ⅰ卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于()．A．3B．4C．5D．6解析由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝2，am＋1＝3，所以d＝1，因为Sm＝0，故ma1＋d＝0，故a1＝－，因为am＋am＋1＝5，故am＋am＋1＝2a1＋(2m－1)d＝－(m－1)＋2m－1＝5，即m＝5.答案C二、填空题8．(·新课标全国Ⅰ卷)若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an＝________.解析当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，所以＝－2，∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，故an＝(－2)n－1.答案(－2)n－19．(·北京卷)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________.解析由题意q＝＝2，又a2＋a4＝20，故a1q＋a1q3＝20，解得a1＝2，所以Sn＝2n＋1－2.答案22n＋1－210．(·新课标全国Ⅱ卷)数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.解析先求出数列的周期，再进一步求解首项， an＋1＝，∴an＋1＝＝＝＝＝1－＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.而a2＝，∴a1＝.答案11．设数列{an}是公差不为0的等差数列，a1＝1且a1，a3，a6成等比数列，则数列{an}的前n项和Sn＝________.解析设公差为d，由a1，a3，a6成等比数列，可得(1＋2d)2＝1×(1＋5d)，解得d＝，所以Sn＝n＋×＝n2＋n.答案n2＋n12．(·天津卷)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．解析根据等差数列的前n项和公式求出S1，S2，S4的表达式，然后利用等比数列的性质求解．等差数列{an}的前n项和为Sn＝na1＋d，所以S1，S2，S4分别为a1,2a1－1,4a1－6.因为S1，S2，S4成等比数列，所以(2a1－1)2＝a1·(4a1－6)，解方程得a1＝－.答案－三、解答题13．(·北京卷)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和．解(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得d＝＝＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1,2，...
