非线性有限元第五章大变形问题的基本方程和Lagrangion表示法（列式法）第五章大变形问题的基本方程和Lagrangion表示法（列式法）§5-1物体的运动分析和应变度量严格来说任何一个变形过程都是非线性的，因为平衡状态和变形有关。但在小变形情况下，以物体变形的平衡方程可始终建立在初始构形上，而与实际情况相差不大，足够满足工程要求。而研究大变形物体的变形过程，，必须在变形之后的物体构形上建立平衡方程。研究方法：把连续的的变形过程分为若干个增量步，在每个增量步内建立它的增量运动方程——即变形体内质点的运动规律。要选取某一坐标系：初始（initial）坐标系;相邻（adjacent,neighboring）坐标系;瞬时（current）坐标系.1．物体运动方程：物体构形（configuration）内一点P的增量运动方程。选择两个固定坐标系,以t时刻物体构形作为参考构形的坐标系ai,以时刻物体构形作为参考构形的坐标系xi研究（）具有普遍意义时刻；时刻△t增量步内，P的变形（1）研究时间步内物体内一点P的变形。最简便的办法是将两个坐标系重合在一起。2．应变度量研究P点附近线素变形在时间步内线素变形（1）’将在坐标系中，在P点处作一阶泰勒展开并考虑到得代入(1)’式得(2)同理将在xi坐标系中，在P’点处作一阶泰勒展开,并考虑到得1非线性有限元第五章大变形问题的基本方程和Lagrangion表示法（列式法）代入(1)’式(2)’---------------------------------------------------------------------------------------------------附：若位移是坐标的单值连续函数，则可在空间中p点处展成泰勒级数.i.e代入（1）式写成张量形式：(2)同理若将位移在坐标系中p’点处展成泰勒级数并取一阶项：代入（1）得(2)’-------------------------------------------------------------------------------------------------------上两式中其中和可分别记为和，可称为相对位移张量（不对称张量），而且可将分解成对称部分和反对称部分。2非线性有限元第五章大变形问题的基本方程和Lagrangion表示法（列式法）i.e.(3)其中(4)同理(3)’(4)’将（3）（4）和(3)’(4)’代入（2）(2)’得变形前线素(5)变形后线素(5)’为了定义应变要讨论时间步内线素的长度变化t时刻变形前线素长度：长度ds0(6)t+时刻变形前长度：长度ds(6)’定义应变为:和(7)和(7)’---------------------------------------------------------------------------------------------------附录：1.说明：平衡方程和变形有关，否则无法求解或求解错误。由两杆三铰结构，且三铰位于同一条直线上。从小变形的观点，平衡方程始终相对于初始坐标建立。所以，外力P无法抵挡，成为结构力学中瞬变机构。而实际上，平衡状态是客观存在的，如图平衡状态和变形有关。当铰2有了一定的微小法向位移之后，杆中的轴力，有一部分可以抵抗外力P，而平衡与变形有关。平衡方程应3P123非线性有限元第五章大变形问题的基本方程和Lagrangion表示法（列式法）相对于变形后的构型为参考的坐标系来建立。2.说明：用线性理论求解会得到错误的结果。物体作平面转动的刚体运动。角速度为，时间内转动量为。按小变形理论，向线素，经转动后成为，则当较大的时候，这显然是不真实的错误解。只有当时，。因此，线性应变理论不适用于大变形状态。3、关于相对位移张量和不对称性在坐标系下，表示位移，则，其中称相对位移张量，即相对位移张量是非对称张量，因为。例如对于平面内变形：其中是工程应变，是应变张量分量。这样可以将相对位移张量分解成对称部分和反对称部分421au122112212a1a非线性有限元第五章大变形问题的基本方程和Lagrangion表示法（列式法）(3)其中为对称部分称为应变张量；为非对称部分称为刚体转动分量表示同理(3)’---------------------------------------------------------------------------------------------------为了求，将（2）代入（5）(8)上面的展开推导过程中，采用了张量运算法则：1)当时，2)3)5非线性有限元第五章大变形问题的基本方程和Lagrangion表示法（列式法）同理，将(2)’代入(5)’(8)’将(8)和(8)’代入(5)和(5)’，得(9)(9)’统...
