大连理工大学2008至2009学年第一学期计算方法期末考试试题B大连理工大学课程名称：计算方法试卷：B考试类型闭卷授课院(系)：数学系考试日期：2009年1月8日试卷共2页一二三四五六七八九十总分标准分3415151010106///100得分一、填空，每题2分，共34分1）1）已知近似值有5位有效数字，则的绝对误差界为，的相对误差界为；2）于，用y=a+bx做最佳平方逼近，则法方程组为：；3）设，，；4）为了减少运算次数，应将表达式.改写为_______；5）已知则均差，对应于x0=0插值基函数；6）此数值求积公式的代数精度为：；7)求解的隐式Euler公式：；8)用二分法求方程在区间内的根，进行一步后根所在区间为______。9)的分解为：；10)上以权函数的正交多项式，。11）是的根，则具有平方收敛的迭代公式为：。12）将向量变换为向量的正交矩阵为；二、计算题1．（15分）如下求解初值问题的线性二步法①确定出它的阶、局部截断误差主项和收敛性，求出其绝对稳定区间；②给出上述方法求解方程：，，的步长的取值范围。2．（15分）确定，，，使得求积公式的代数精度达到最高，试问是多少？取，利用所求得的公式计算出数值解。3．（10分）求下列矩阵的一个奇异值分解4、（10分）已知线性方程组（1）给出求解上述方程组的Gauss-Seidel法分量形式迭代公式；（2）确定的值，得到Gauss-Seidel迭代法收敛的充要条件；5．（10分）已知，求出A的Jardan标准型。三、证明题（6分）设A为n阶方阵，若,则在中存在一种矩阵范数，使得。大连理工大学2008-2009学年第一学期计算方法期末考试试题A答案大连理工大学2006级《计算方法》试题B卷答案一、填空，每题4分，共34分1）的绝对误差界为，的相对误差界为；2）法方程组为：；3）设17，17×17=289；4）应改写为5）均差0，；6）此数值求积公式的代数精度为：3；7）求解的隐式Euler：；8）用二分法进行一步后根所在区间为:[1,2]。9)分解为：；10)上以权函数的正交多项式1，。11)；12)正交矩阵：二、计算题1．（15分）解：已知，。，故此为二步一阶方法。局部误差主项为：。又，满足根条件，故此差分格式收敛。又考虑模型问题则，有特征多项式：，其中由判别式可知的充要条件是：，而自然成立则由得出。由于，故的取值范围是：。﹟2．（15分）解：，则，，，。，令即得，得Gauss点：。取，，令即得到方程组：，，解之，得，从而得到，又取故所得到的数值求积公式是具有m=3次代数精度Gauss求积公式。﹟3．（10分）解：ATA，则的特征值为,所以。下面求对应的标准正交的特征向量(正规直交)，即,;,;即,因rank(A)=1，故有。计算得===u1，得约化的奇异值分解=计算u2,使其与U1构成R2的一组标准正交基，可取=u2=,则是酉阵,故矩阵A的奇异值分解（满的奇异值分解）为﹟4．（10分）解：（1）Gauss-Seidel法迭代公式：；（2）Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为：，则令得Gauss-Seidel迭代法收敛的充要条件为：；5．（10分）解：由于，则。即（二重），（二重）。，即2，故其代数重复度=几何重复度=2，即为半单的；且其对应的Jordan块为2块，和为2阶的。，即3，故其代数重复度=2，几何重复度=1，即为亏损的；且其对应的Jordan块为1块，和为2阶的。综上所述，A的Jordan标准型为：或﹟二、证明题（6分）若,则存在范数,使得.证明:令,并取非奇异矩阵T,使
