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函数的周期性与对称性总结 VIP免费

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。精选资料,欢迎下载一:有关周期性的讨论在已知条件faxfbx或fxafxb中,(1)等式两端的两自变量部分相加得常数,如axbxab,说明fx()的图像具有对称性,其对称轴为2bax。(2)等式两端的两自变量部分相减得常数,如xaxbab,说明f(x)的图像具有周期性,其周期T=a+b。设a为非零常数,若对于)(xf定义域内的任意x恒有下列条件之一成立周期性规律对称性规律(1))()(axfaxfaT2(1))()(xafxafax(2))()(axfxfaT(2))()(xbfxaf2bax(3))()(xfaxfaT2(3))()(xbfxaf2bax(4))(1)(xfaxfaT2(4))()(xbfxaf中心点)0,2(ba(5))(1)(xfaxfaT2(5))()(xafxaf为对称中心点)0,(a(6)1)(1)()(xfxfaxfaT2(7)1()()1()fxfxafxaT2(8)1()()1()fxfxafxaT4(9))(1)(1)(xfxfaxfaT4(10))()()(axfaxfxf,0aaT6。精选资料,欢迎下载(11)若函数)(xf同时关于直线ax,bx对称则函数)(xf的周期abT2(12)若函数)(xf同时关于点)0,(a,)0,(b对称,则函数)(xf的周期abT2(13)若函数)(xf同时关于直线ax对称,又关于点)0,(b对称)0(b则函数)(xf的周期abT4(14)若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称,则f(x)为周期函数且T=2a(15)若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称,则f(x)为周期函数且T=4a(16)若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x∈R,T≠0),则f(2T)=0.⒈若)x2(fy的图象关于两类易混淆的函数问题:对称性与周期性例1.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(5+x)=f(5-x),问:y=f(x)是周期函数吗?它的图像是不是轴对称图形?例2.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+5)=f(x-5),问:y=f(x)是周期函数吗?它的图像是不是轴对称图形?定理1:如果函数y=f(x)(x∈R)满足)()(xafxaf,那么y=f(x)的图像关于直线xa对称。证明:设点Pxy00,是y=f(x)的图像上任一点,点P关于直线x=a的对称点为Q,易知,点Q的坐标为200axy,。因为点Pxy00,在y=f(x)的图像上,所以fxy()00于是000002yxfxaafxaafxaf所以点Qaxy200,也在y=f(x)的图像上。由P点的任意性知,y=f(x)的图像关于直线x=a对称。定理2:如果函数y=f(x)(x∈R)满足f(a+x)=f(b-x),那么y=f(x)的图像关于直线xab2的对称。定理3:如果函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+a)=f(x-a),那么y=f(x)是以2a为周期的周期函数。证明:令xax',则xxaxaxa'',2代入已知条件fxafxa得:fxafx''2根据周期函数的定义知,y=f(x)是以2a为周期的周期函数。定理4:如果函数y=f(x)(x∈R)满足fxafxb,那么y=f(x)是以ab为周期的周期函数。。精选资料,欢迎下载Welcome!!!欢迎您的下载,资料仅供参考!

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