§2.3.1双曲线及其标准方程一、教材分析本课题是理科选修教材2.3.1中的内容，双曲线是继椭圆后的又一类重要的圆锥曲线。双曲线在社会生产、日常生活和科学技术上有着广泛的应用，大纲明确要求学生必须熟练掌握。在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上，学生将学习双曲线的定义及标准方程，了解双曲线与二次方程的关系，掌握其基本性质感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合相关曲线及其方程的实例，了解其对应关系，使学生进一步体会数形结合的思想。通过对双曲线的定义及其标准方程的学习，学生会对已经学过的椭圆及其标准方程有更深的理解对抛物线的学习就会顺理成章,对圆锥曲线的认识有很大帮助，所以这节课在本章中起着承前启后的作用。双曲线的定义与椭圆的定义相比难度增大，所以这节课在本章中的地位非常重要。二、学情分析学生在认识椭圆的基础上，进一步认识新的重要的圆锥曲线——双曲线，通过对椭圆的定义及其标准方程的学习，学生会对学习圆锥曲线有初步的轮廓，有利于更好地掌握双曲线的相关知识。但是双曲线的知识与椭圆相比更为复杂，会给学生造成一定的学习难度。对于大部分同学而言，在数形结合和观察推理能力上有所欠缺，这恰恰是普通高中课程标准里要求和强调的部分，但是大家的积极性都非常高，愿意在教师的指导下加强此方面的练习，配合老师进行知识的探究并在课后进行巩固。三、教学目标1.知识与技能：掌握双曲线的定义及其标准方程，了解双曲线的相关概念并能运用解决问题。2.过程与方法：通过实践操作和协作探讨，培养学生的实践能力和分析问题解决问题的能力，通过知识的再现培养学生的创新能力，通过定义及标准方程的深刻探究，使学生进一步体验类比发现及数形结合等思想方法的运用。3.情感态度与价值观：让学生体会知识产生的全过程，调动其积极性。通过画双曲线的图形让学生感知数学的曲线美、对称美，培养学生学习数学的兴趣。四、教学重点与难点重点：双曲线的定义、标准方程及简单的应用。难点：双曲线定义中对与关系的理解，双曲线标准方程的推导。五、教学手段多媒体、几何画板六、教学方法讲授法、演示法、合作探究法七、教学过程（一）趣味引入与同学们一起回忆童年的折纸游戏，给出新的折纸游戏规则——即在白纸上画一个圆(圆心为)，在圆外取一定点，把点分别折到圆周的不同点上，每折一次即在纸上得一折痕，用笔描出折痕使折痕保留。当折叠的次数足够多时纸上的折痕就会显现出一个美丽图形的轮廓，这个图形是什么样子呢？让同学们动手尝试折纸，接着教师展示准备好的成品，同时利用多媒体展示折痕构成的图形，引入本节新课主题——双曲线及其标准方程。（二）合作学习通过老师提问，学生回答的形式引导学生掌握知识点。问题1：双曲线究竟是什么呢？（双曲线的初步定义）给出一些生活中应用双曲线的实例图片，让学生感受双曲线的重要性。回到折纸游戏，利用几何画板展示双曲线的形成动态图，跟学生一起探究其中蕴含的数学关系。引导学生发现点，观察折痕的特性（即垂直平分线特性），让学生意识到我们需要认识双曲线即是点轨迹。然后老师启发学生探究具体的数学关系，得出双曲线左支的数学关系式。请一位同学类比刚才的分析方法，得出双曲线右支的数学关系式。请同学将两式整合成一个式子即加绝对值为。请一个同学并引导他试着将数学语言转化成文字语言，得出双曲线的初步定义：将平面内与两定点，的距离之差的绝对值是常数的点的轨迹叫双曲线。问题2：这样说完整吗？这里的有没有什么限制条件呢？（给出完整定义）分析与的大小关系。先根据双曲线的图象分析出双曲线满足。请同学回答，当等于时，点轨迹是以，为端点的两条射线；当大于时，点轨迹是不存在的（违背三角形两边之差小于第三边原则）；当时，即，点轨迹是的垂直平分线。得出结论：只有当时，我们才能够推出点的轨迹是双曲线。由此得出双曲线的完整定义：把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）。其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距。强调在应用定义时首先要考察与的大小。问题3：双...
