高三数学高考复习：聚焦数列　品味经典VIP免费

聚焦数列品味经典数列的问题，一直是高考考查的热点和焦点，本文以高考题为例，品味数列的几类经典问题．高.考-资.源-网一、数列求和问题例1（北京）设4710310()22222kfn，则()fn（）．（A）2(81)7n（B）22(81)7n（C）32(81)7n（D）42(81)7n解析：数列47102222，，，，…，3102n是以2为首项，8为公比的等比数列，给出的这个数列共有(4)n项，根据等比数列的求和公式有442(81)2(81)817nnnS．选（D）．例2（广东）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按下图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以()fn表示第n堆的乒乓球总数，则(3)f_____；()fn=_____（答案用n表示）．解析：观察归纳，(3)63110f；观察图示，不难发现第n堆最底层（第一层）的乒乓球数(1)1232nnnan，第n堆的乒乓球总数相当于n堆乒乓球的底层数之和，即222212311(1)(1)(2)()(123)2226nnnnnnfnaaaan．品：数列求和，无论等差还是等比数列，分清项数及规律都尤为重要．二、数列求通项问题例3（北京）设等差数列{}na的首项1a及公差d都为整数，前n项和为nS．（1）若1114098aS，，求数列{}na的通项公式；（2）若111146077aaS，，≥≤，求所有可能的数列{}na的通项公式．用心爱心专心解：（1）由1411980Sa，，，即1121314100adad，，，解得1220da，．因此，{}na的通项公式是222123nann，，，，；（2）由141117706Saa，，，≤≥，得111213111006adada，，，≤≥，即11121311(1)2200(2)212.(3)adada，，≤≤由①+②，得711d，即117d．由①+③，得131d≤，即113d≤．所以111713d≤．又dZ，故1d．将1d代入①、②，得11012a≤．又1aZ，故111a或112a．所以，数列{}na的通项公式是12nan或13123nann，，，，．品：利用等差（比）数列的定义构造方程（组）或不等式（组）是常用的解题方法．三、数列的证明问题例4（江苏）设数列{}{}{}nnnabc，，满足21223nnnnnnnbaacaaa，(123)n，，，，证明{}na为等差数列的充要条件是{}nc为等差数列且1(123)nnbbn，，，…≤．证明：必要性：设{}na是公差为1d的等差数列，则1132()()nnnnnnbbaaaa13211()()0nnnnaaaadd．易知1(123)nnbbn，，，≤成立．用心爱心专心由递推关系1121321111()2()3()236nnnnnnnnccaaaaaadddd（常数）（n=1，2，3，…）．所以数列{}nc为等差数列．充分性：设数列{}nc是公差为2d的等差数列，且1(123)nnbbn，，，≤， 1223nnnncaaa，①∴223423nnnncaaa，②由①②，得22132412()2()3()23nnnnnnnnnnnccaaaaaabbb． 222nnccd，∴122232nnnbbbd，③从而有1232232nnnbbbd，④④③，得12132()2()3()0nnnnnnbbbbbb，⑤ 12132000nnnnnnbbbbbb，，≥≥≥，∴由⑤得10(123)nnbbn，，，，由此不妨设3(123)nbdn，，，，则23nnaad（常数）．由此121323423nnnnnncaaaaad．从而1123423nnncaad，两式相减得1132()2nnnnccaad．因此1132311()22nnnnaaccddd（常数）（n=1，2，3，…），即数列{}na为等差数列．品：利用递推关系式是解决数列问题的重要方法，要熟练掌握等差数列的定义、通项公式．四、数列综合问题例5（福建）已知数列{}na满足11121nnaaa，．（1）求数列{}na的通项公式；用心爱心专心（2）若12111444(1)nnkkkknnnabk，，证明{}nb是等...