高三数学高考复习：关注高考中排列组合的五类问题VIP免费

关注高考中排列组合的五类问题排列、组合是高中数学的重要内容，是进一步学习后继内容和高等数学的基础知识之一，也是高考数学命题的必考内容．本文对近年来的相关高考试题加以总结，介绍五类典型考题及其解法．一、相邻、不相邻、相间问题解决方法：（1）相邻问题：捆绑法；（2）不相邻问题：插入法；（3）相间问题：位置分析法（问题双方元素的个数相等或相差1）．例1（2005年辽宁卷）用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有______个（用数字作答）．解析：组成这样的八位数可以分成三步：第一步是把1与2、3与4、5与6看作三个整体排成一列，共有种排法；第二步是把7与8插入第一步中的三个整体之间，共有种排法；第三步是第一步当中的1与2、3与4、5与6之间的位置可以交换，共有种排法．所以组成这样的八位数共有个，即填576．注：捆绑法一般都要对受绑元素松绑．二、特殊元素顺序问题解决方法：定位法、等机率法．例2（2005年北京卷）五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（）．（A）种（B）种（C）种（D）种解析：承建方案分为两步：第一步是由于甲工程队不能承建1号子项目，那么就从剩下的四个不同的子项目中挑选一个让甲工程队承建，有种方案；第二步是其他四个工程队承建四个不同的子项目，共有种方案．所以不同的承建方案共有种方案．三、互斥问题解决方法：分类法．例3（2005年浙江理科卷）从集合{Ｏ，P，Q，R，S}与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．每排中字母Ｏ、Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是__________．（用数字作答）解析：把排法分成三类：①当无字母Ｏ、Q和数字0时，有排法种；②当无字母Ｏ、Q，但有数字0时，有排法种；③当无数字0，但有字母Ｏ、Q其中之一时，有排法种．综上，符合题意的不同排法种数是．四、不同元素的分组分配问题解决方法：先分组再分配．例4（2005年北京卷）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（）．（A）．（B）（C）（D）解析：分配14名志愿者参加接待工作分两步完成：第一步先从14名志愿者中抽取12名志愿者参加开幕式当天的接待工作，有种排班种数；再把12名志愿者排早、中、晚三班，有种，即有种排班种数．因此，开幕式当天不同的排班种数为，应选（A）．（注：还可写成．）五、相同元素分组分配问题解决方法：档板法．例5（1）参加联赛的10个名额要分配到高三年级的8个班级中，则每个班级至少一个名额的分配方法有_____种；（2）10个相同的小球全部放入编号为1、2、3的盒子中，则使每个盒子中球的个数不小于盒子的编号数的方法有_____种．解析：利用档板法．（1）相当于在排成一排的10个“1”所形成的9个空隙中，选出7个插入7块档板的方法，每一种插板方法对应一种名额分配方法，有种方法；（2）可以首先在2、3号盒子中先分别放入1、2个球，然后在剩余的7个球排成一排形成的6个空隙中选出2个空隙各插入一块板，有种方法．注：档板法的使用比较灵活，且对数学思想方法要求较高，现利用档板法证明一个不定方程的自然数解的组数的结论：方程的自然数解有组．简证：转化为正整数解的组数，利用档板模型有：作代换，则方程自然数解的组数，即正整数解的组数，相当于把n+m个球分成m份，每份至少1个的方法数，即在n+m-1个球的间隙中放置m-1个档板的方法种数，即