高三数学轨迹与圆锥曲线综合（文）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：轨迹与圆锥曲线综合二.重点、难点：轨迹的求法1.直接法2.几何法3.转移法4.参数法【典型例题】[例1]A（－2，0），B（2，0），动点M满足∠MBA=2∠MAB，求M的轨迹。解：设M（x，y）（1）M在线段AB上，∠MBA=∠MAB=0成立（2）M不在线段AB上，∠MBA>∠MAB∴图形在y轴右侧不妨设M在x轴上方①∠MBA90°∴*②∠MBA=90°时，M（2，4）满足*式∴轨迹为（）或（）[例2]圆M：，A（1，0），Q在M上，线段AQ的垂直平分线交半径MQ于P，求P点轨迹。解：如图，为AQ的垂直平分线∴∴∴∴用心爱心专心∴轨迹为椭圆：[例3]椭圆M：，A1、A2分别是椭圆的左、右顶点，P为M上任一点，PA1⊥A1Q，PA2⊥A2Q，A1Q、A2Q的交点为Q，求Q点轨迹。解：设P（）Q（）∴：：∴即：[例4]过Q（－2，0）作直线，交椭圆于A、B，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB，求P点轨迹。解：设P（x，y）设直线：用心爱心专心∴∴设∴k为参数∴代入∴半个椭圆[例5]已知A（－2，0），B（2，0）点C，点D满足，（1）求D点轨迹；（2）经点A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点。线段MN的中点到y轴的距离为，且直线与点D的轨迹相切，求椭圆方程。解：（1）设C（）D（x，y）∴， ∴∴∴∴代入∴（2）设椭圆方程为：用心爱心专心与D的轨迹相切∴即：*代入检验*式∴椭圆方程[例6]动点P与双曲线的两个焦点F1，F2距离之和为定值，且的最小值为。（1）求P点轨迹；（2）若已知点D（0，3），点M，N在P的轨迹上，且，求的取值范围。解：（1）设P的轨迹为椭圆P在短轴顶点时，最大最小∴∴∴（2）设M（）N（） ∴∴消用心爱心专心∴ ∴[例7]已知双曲线（）的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线交双曲线于点P、Q。（1）求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；（2）当时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率。解：（1）设P点的坐标为（），则Q点坐标为（），又有A1（），A2（m，0），则的方程为：①，A2Q的方程为②①×②得：③又因点P在双曲线上故，即代入③并整理得此即为M的轨迹方程（2）当时，M的轨迹方程是椭圆①当时，焦点坐标为（），准线方程为，离心率；②当时，焦点坐标为（0，），准线方程为，离心率用心爱心专心。[例8]已知椭圆（），点P为其上一点，、为椭圆的焦点，的外角平分线为，点关于的对称点为Q，F2Q交于点R。（1）当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；（2）设点R形成的曲线为C，直线：与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求的值。解：（1） 点F2关于的对称点为Q，连接PQ，∴，，，又因为为外角的平分线，故点F1、P、Q在同一直线上，设存在，，，，=，则，又，得，∴∴故R的轨迹方程为：（）（2）如下图， 当∠AOB=90°时，最大值为，此时弦心距在Rt△AOC中，∠AOC=45°∴∴用心爱心专心[例9]过点（1，0）的直线与中心在原点，焦点在轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线对称，试求直线与椭圆C的方程。解法一：由，得，从而设椭圆方程为，A（），B（）在椭圆上则，两式相减得，设AB中点为（），则，又（）在直线上，于是，设的方程为右焦点（）关于的对称点设为（），则解得用心爱心专心由点（1，）在椭圆上，得∴所求椭圆C的方程为，的方程为解法二：由，得，从而设椭圆C的方程为，的方程为将的方程代入C的方程，得则，直线：过AB的中点则，解得，或若，则的方程为，焦点F（）关于直线的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线的方程为，即，以下同解法一。[例10]如图，已知△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程。解：以O为原点，的角平分线为轴建立如图的直角坐标系设双曲线方程为（）由，得∴两渐近线OP1、OP2方程分别为和用心爱心专心设点P1（）P2（）（），则由点P分所成的比，得P点坐标为，又点P在双曲线上，所以，即，整理得①又，∴即②由①、②得故双曲线方程为[例11]已知圆C1的方程为，椭圆C2的方程为（），C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰...
