等比数列和数列的求和（文）一周强化一、一周知识概述本周复习内容是数比数列和数列的求和，以及等差数列和等比数列的综合运用．等差数列和等比数列常常综合命题，这些内容是高考考查的重点内容，并用常常与函数、不等式、解析几何、数列极限交叉命题，可以达到很高的难度．二、重、难点知识的归纳与剖析1、本周学习的重点等比数列（1）等比数列：（2）通项公式：an=a1qn－1；推广式：an=am·qn－m；（3）求和公式：（4）性质：若数列{an}是等比数列，公比为q，则有下列性质：①an=am·qn－m(m，n∈N*)；②若m＋n=p＋q(m，n，p，q∈N*)，则有am·an=ap·aq.特别地，若m＋n=2k，则am·an=;③a1an=a2an－1=…=aian－i＋1=…；④在{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为qk+1;用心爱心专心⑤若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，an，aq成等比数列.等比数列前n项和的有关性质若数列{an}是公比为q的等比数列，则有①Sn＋m=Sn＋qnSm;②Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列；③若项数为2n(n∈N*)则S偶=S奇q，若项数为2n＋1项（n∈N*），则S奇=qS偶＋a1.2、本周学习的难点数列求和的特殊方法：（1）公式法求和：常用的公式有：（2）倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法；（3）错位相消法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得到的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广；（4）裂项求和：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差数列、等比数列，再求解；（5）折项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项；（6）无穷递缩等比数列求和公式：用心爱心专心三、例题点评例１、已知等比数列{an}的首项为a1=2002，公比（1）设f(n)表示该数列的前n项之积，求f(n)的表达式.（2）当n取何值时，数列{f(n)}有最大项？分析：若数列{an}中存在某一项am，满足am＞am－1＞…＞a1，且am＞am+1＞am＋2＞…，则am为数列{an}中的最大项；类似地可以得到最小项，也可利用an的表达式直接求得最大(小)项．这里，由于f(n)有正有负，可以先确定数列{|f(n)|}的最大项，就容易求得数列{f(n)}的最大项了.解：（1）易知由于210=1024，211=2048，∴当n≤10时，从而有|f(11)|＞|f(10)|＞…＞|f(1)|;当n＞10时，从而有|f(11)|＞|f(12)|＞|f(13)|＞…又f(11)＜0，f(10)＜0，f(9)＞0，f(12)＞0，用心爱心专心∴f(12)＞f(9)，数列{f(n)}有最大项f(12).点评：解题关键点首先要读懂题目，理解题意，要充满信心，这种给出陌生的背景（问题的情景）、叙述较为隐晦的题目，其实所涉及的数学知识往往比较简单，剔除伪装并符号化就是我们熟悉的问题.例2、求下面各数列的前n项和Sn.（1）（2）分析：先求出每个数列的通项，再裂项求和.解答：点评：把数列的通项拆成若干项的和或差，然后求和称为裂项法．如果通项拆成若干项的差，求和时要细心观察相消的规律，保留哪些项等，必要时可适当地多写出一些项，防止漏项或增项.用心爱心专心例3、已知数列{an}的前n项和Sn=32n－n2，求数列{|an|}的前n项和Sn′.分析：根据{|an|}与{an}的项之间的关系，寻找Sn′与Sn的关系，利用Sn来求Sn′.解答：∵Sn=32－n2,∴a1=31.当n≥2时，an=Sn－Sn－1=33－2n.由an≥0，得n≤16.5<17，即数列{an}中前16项均为正数，以后各项均为负数，所以，当n≤16时，=|a1|＋|a2|＋…＋|an|=a1＋a2＋…＋an=Sn=32n－n2；当n>16时，点评：一般地，数列{an}与数列{|an|}的前n项和为Sn与Sn′：当ak≥0时，有Sn′=Sn；当ak<0时，Sn′=－Sn(k=1,2,…,n).若在a1,a2,…,an中，有一些项不小于零，而其余各项均小于零，设其和分别为S＋、S－，则有Sn=S＋＋S－，所以Sn′=S＋－S－=2S＋－Sn=Sn－2S－.本题的求和方法叫做分项求和法，适用于通项公式为多项式的数列求和的问题.例4、设求f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(5)＋f(6)的值.解：用心爱心专心点评：对等差数列倒序相加求和时利用了an＋a1=an－1＋a2=…，对于也可产生如上效果．可见类似于这种可以将若干项和转化为某项积的求和方法实际上是抓住了数列（或解析式）的特点，利用“整体”运算简化求和的一种方法.用心爱心专心
