高三数学第一轮复习：简单几何体【本讲主要内容】简单几何体棱柱、棱锥球的概念和性质【知识掌握】【知识点精析】1.棱柱的概念和性质定义：有两个面互相平行，其余各面的公共边互相平行的多面体叫棱柱．侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．性质：棱柱的各侧棱相等，各侧面是平行四边形；长方体的对角线的平方等于由一个定点出发的三条棱的平方和．说明：（1）理解并掌握棱柱的定义及相关概念是学好这部分知识的关键，要明确“棱柱→直棱柱→正棱柱”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。（2）平行六面体是棱柱中的一类重要的几何体，要理解并掌握“平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体”这一系列中各类几何体的内在联系和区别。2.棱锥的概念和性质定义：一个面是多边形，其余各面是由一个公共顶点的三角形的多面体叫棱锥．底面是正多边形并且顶点在底面上的射影是正多边形的中心的锥棱叫正棱锥．性质：在正棱锥中，侧棱、高及侧棱在底面上的射影构成直角三角形．斜高、高及斜高在底面上的射影构成直角三角形．3.球的概念和性质（1）定义：到定点的距离小于或等于定长的点的集合叫做球．到定点的距离等于定长的集合叫做球面．过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长叫做两点的球面距离．（2）性质：①平面截球所得的截面是圆；②球心与截面圆心的连线垂直于截面；③设球心到截面的距离为d，截面圆的半径为r，球的半径为R，则：r＝④表面积及体积公式：S球表＝4πR2，V球＝πR3，其中R为球的半径（3）相关概念——经纬度根据经线和纬线的意义可知，某地的经度是一个二面角的度数，某地的纬度是一个线面角的度数，4.主要题型及解题方法（1）以棱柱、棱锥为载体，考查线面平行、垂直，夹角与距离等问题。解这类题要注意棱柱与棱锥的性质及各种线面关系相关性质的综合运用（2）求球的体积、表面积和球面距离。求球面距离一般作出相应的大圆，转化为平面图形求解，关键就在于求出过这两点的球半径的夹角。（3）球与其它几何体的切截问题．解这类题要仔细观察、分析、弄清相关元素的位置关系和数量关系，选择最佳角度作出截面，以使空间问题平面化。说明：简单几何体的问题离不开构成几何体的基本要素点、线、面及其相互关系，因此，很多问题实质上就是在研究点、线、面的位置关系，与第一部分“空间直线平面”的问题相比，唯一的差别就是多了一些概念，比如面积与体积的度量等．从这个角度来看，点、线、面及其位置关系仍是我们研究的重点．用心爱心专心【解题方法指导】例1.（1）一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（）A.B.C.D.解析：由球的截面性质可得球的半径为5。故选C（2）如图，A、B、C是表面积为48π的球面上三点，AB＝2，BC＝4，∠BAC＝90°，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是（）A.arcsin63B.arccos63C.arcsin33D.arccos33解析：如图：由已知三角形ABC为直角三角形，BC为截面圆直径，O1为截面圆圆心，连结O1A，O1O，则O1O⊥截面ABC，∠OAO1为直线OA与截面ABC所成的角．由球的表面积为48π得球的半径OA＝，又O1A＝2得cos∠OAO1＝．故选D（3）在棱长为2R的正方体容器内装满水，先把半径为R的球放入水中，然后再放入一球，使它淹没在水中，且使溢出的水最多，问这个球的半径是多少？解：以正方体的对角面为截面作出如图所示的平面图形，图中∽例2.一个斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4．若其中一侧棱与底面三角形的两边都成45°角，求这个三棱柱的侧面积．用心爱心专心解法一：如图1，作A1H⊥平面ABC于H．因为∠A1AB＝∠A1AC，易证点H在∠BAC的平分线上．又△ABC是正三角形．所以AH⊥BC.由三垂线定理有BC⊥A1A，又A1A∥B1B，因此BC⊥B1B.故侧面B1BCC1是矩形．所以S侧＝2×5×4sin45°＋5×4＝解法二：如图2，作BE⊥A1A于点E，连接CE．则易证△ABE≌△ACE．所以CE⊥A1A.所以A1A⊥截面BCE，故截面BCE为棱柱的直截面，BE＝CE＝所以所求得侧面积为【考点突破】【考点指要】高考中，棱柱的出题率较大，考查形式灵活，既可以在选择、填空中，又可在解答题中，考...
