高三数学第一轮复习：抛物线（理）人教版【本讲教育信息】一.教学内容：抛物线二.本周教学重难点：掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质，了解抛物线的初步应用。【典型例题】[例1]已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值。解：方法一：根据已知条件，抛物线方程可设为，则其焦点为 点在抛物线上，且故解得或∴抛物线方程为，方法二：设抛物线方程为，则其准线方程为，由抛物线定义，M点到焦点的距离等于M点到准线的距离∴有∴∴所求抛物线方程为又 点在抛物线，故∴[例2]若曲线与直线恰有一个公共点，求实数的值。解：联立方程（1）当时，此方程组恰有一组解为（2）当时，消去，得①若，即，方程变为一元一次方程，方程组恰有一组解②若，即，令，得可解得，这时直线与曲线相切，只有一个公共点用心爱心专心综上所述，当、、时，直线与曲线只有一个公共点。[例3]（1）已知点A（3，2），F为抛物线的焦点，P在抛物线上移动时，求|PA|+|PF|的最小值，并求这时点P的坐标；（2）已知A、B为抛物线上两个动点，|AB|=3，求AB的中点P到y轴距离的最小值。解：（1）如图，点A（3，2）在抛物线内部，作准线，垂足为Q ∴∴过A作准线的垂线交抛物线的点使取最小值这时P点的横坐标为2，纵坐标为2∴P点坐标为（2，2）（2）如图，分别过A、B、P作准线的垂线，设垂足为交轴于Q点，连结AF、BF由抛物线定义可知∴又四边形为梯形，是中位线∴∴又∴当且仅当A、B、F三点共线时取“=”[例4]已知抛物线，A（3，0），问是否存在过A的直线，使抛物线上存在不同的两点关于直线对称？如果存在，求出直线的斜率的取值范围；如果不存在，请说明理由。解：当的斜率不存在时，抛物线上显然不存在关于对称的两点用心爱心专心因此的斜率必存在，设直线的方程为当时，抛物线上存在无数多个点关于直线对称；当时，抛物线上存在不同两点关于直线对称的充要条件是线段PQ的垂直平分线是。故可设直线PQ的方程为解方程组消去y得到即①设线段PQ的中点坐标为则，又点M在直线上，故满足方程即，所以②由①②可得，所以或又满足题意，故的取值范围是[例5]设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线。（1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（2）当直线的斜率为2时，求在y轴上截距的取值范围。解：（1）A、B两点到抛物线的准线的距离相等 抛物线的准线是x轴的平行线，，依题意知不同时为0∴上述条件等价于 ∴上述条件等价于，即当且仅当时，经过抛物线的焦点F（2）设在y轴上的截距为b依题意得的方程为过点A、B的直线方程可写为用心爱心专心所以满足方程，得A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式，即设AB的中点N的坐标为则，由，得于是即在y轴上截距的取值范围为[例6]如图所示，已知抛物线的顶点为O，点A的坐标为（5，0），倾斜角为的直线与线段OA相交（不经过点O或点A）且交抛物线于M、N两点。求△AMN面积最大时直线的方程，并求△AMN的最大面积。解：由于直线与线段OA相交且倾斜角为又点A坐标为（5，0）设直线的方程为，可知由方程组消去y得① 直线与抛物线有两个不同交点M、N∴方程①的判别式∴由得m的取值范围是设，则，∴点A到直线的距离为∴，用心爱心专心∴当且仅当，即时，上式取等号故直线的方程为，的最大面积是[例7]设曲线C：上的点为，过作曲线C的切线与x轴相交于，过作y轴的平行线与曲线C交于，然而再过作曲线C的切线交x轴于T2，过T2作y轴的平行线与曲线C交于，依次类推，在曲线C上得到以下各点：，，，…，，若。（1）求数列的通项公式；（2）设，求。解：（1）设切线方程为则由得，即因为为抛物线的切线所以故故，切线方程为：令，得，所以，由题意知，所以（2）[例8]平面直角坐标系中，已知点A（1，0），向量，点B为直线上的动点，点用心爱心专心C满足，点M满足，。（1）试求动点M的轨迹E的方程；（2）试证直线MC为轨迹E的切线。解：（1）设，由，得解得，∴为AB中点又，故MC为AB的中垂线。设，由消去m得E的轨迹方程为∴它是顶点在原点，以（1，0）为焦点的抛物线（2）证明：由题设知C为AB中点，，故MC为AB...
