高三数学文科人教版【同步教育信息】一.本周教学内容：椭圆【典型例题】[例1]已知动圆M和圆，圆都相切，求动圆圆心M的轨迹方程。解：⊙与⊙内含，则动圆M与两圆都相切有如下两种情形（1）当⊙M与⊙内切，与⊙外切时，有，两式相加，有，据椭圆定义知M的轨迹为椭圆，由，，，M的轨迹方程为（2）当⊙M与⊙、⊙都内切时，有，两式相加，得，同理可得M的轨迹方程为[例2]在椭圆内有定点A，M为椭圆上的动点，求（1）的最小值；（2）的最小值。解：（1）如图，由，则，当且仅当、A、M三点共线时取得等号（2）用心爱心专心122号编辑1当且仅当时，取等号[例3]设P是椭圆上的任意一点，，是左右焦点，若，则有，，证明：设，，由余弦定理及椭圆定义，得从而又由再将代入椭圆方程得[例4]已知为椭圆E的焦点，若椭圆E上存在点P，使得，则椭圆E的离心率的范围是（）用心爱心专心122号编辑2A.（0，1）B.C.D.不确定解：由已知又故选B[例5]（2005高考）是椭圆的两个焦点，P是其上动点，当为钝角时，点P的横坐标x的取值范围是。解：利用上题方法，把代入由椭圆的对称性知，当时，为钝角，同时也知当时，为锐角。另法：设P坐标，由题设知，，于是的坐标为，坐标为，为钝角[例6]椭圆C的方程为，F是它的左焦点，M是椭圆C上的一个动点，O是坐标原点。（1）求的重心G的轨迹方程；（2）若的重心G对原点O和点转成最大角，求点M的坐标。解：（1）设重心，，，则用心爱心专心122号编辑3由M在椭圆C上，则，即即G的轨迹方程为（2）由轨迹可知否则，MFO共线故和O（0，0）是椭圆的左、右两焦点设故，当且仅当时，等号成立所以最大为直角，此时，[例7]如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，直线过焦点且与长轴的夹角为，且与椭圆C相交于A、B两点，，点P是椭圆上的动点，，且最大值为，求椭圆C的方程。用心爱心专心122号编辑4解：设，，，，在中，由余弦定理，得（注：一般地，当时，最大）故，当且仅当时，等号成立，得代入C的方程得①由题设知代入①得由弦长公式，得由已知，故椭圆[例8]已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，的内心为I，连结PI并延长与交于Q，且，求此椭圆的方程。解：如图连结，由I为的内心，则，则，由合比定理，有，即，则（1）若焦点在x轴上，则，由，则椭圆方程为用心爱心专心122号编辑5（2）若焦点在y轴上，则，且，故，则椭圆方程为[例9]如图，在面积为1的中，，，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆的方程。解：如图以MN所在直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设所求椭圆方程为，分别记M、N、P点的坐标为，和由，，得直线PM和PN的方程分别为，联立，得，，即在中，，MN边上的高为点P的纵坐标即故，由已知得即P点坐标为，，则，故，所以椭圆方程为[例10]已知椭圆，直线与椭圆交于A、B两点，M为AB中点，则证：设，用心爱心专心122号编辑6由即又A、B在上，则，即故[例11]已知圆，一个椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率，这个椭圆在圆C上截得的弦恰好是圆C的直径，求这个椭圆的方程。解：设，即圆与椭圆交点设为由相减又由中点为圆C的圆心，故（或）所以直线由或由与在椭圆上，故用心爱心专心122号编辑7所以椭圆方程[例12]已知⊙，椭圆，的离心率为，如果与相交于A、B两点，且线段AB恰为⊙的直径，求直线AB的方程和椭圆的方程。解：由，，设椭圆，设，由，，即由，，则A的坐标，即又由A在椭圆上，则故椭圆用心爱心专心122号编辑8[例13]直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，求m的取值范围。解：由则对恒成立对恒成立，又，则有对恒成立，故即，又由，所以另解：令则问题转化为直线与圆总有公共点，求m的取值范围由点线距离公式，有对恒成立，下同解法1又解：利用数形结合，直线系恒过定点（0，1），直线与椭圆总有公共线等价于点（0，1）在椭圆内都即又故[例14]已知过椭圆和两点A（1，2），B（3，4），若线段AB和椭圆没有公共点，求的取值范围。解：线段AB的方程为，即代入椭圆方程，并整理得问题等价于该方程无实数解，令由对称轴又，故在上没有实根的充要条件是或，又，故或又法：利用数形结合，当椭圆分别过点A和点B时，故或用心爱心专心122...
