高三数学总复习——数列求和的基本方法和技巧北师大版VIP免费

数列求和的基本方法一、公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：3、4、5．[例1]求和：解：1、当x=0时，2、当x=1时，3、当x0,且x1时，.[例2]已知，求的前n项和.解：由由等比数列求和公式得（利用常用公式）＝＝＝1－[例3]设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.解：由等差数列求和公式得，（利用常用公式）用心爱心专心∴＝＝＝∴当，即n＝8时，二、错位相减若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，一个是等比数列求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。这种方法叫错位相减法。这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列.[例1]：求和：.设，其中为等差数列，为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.解：，两端同乘以，得，两式相减得于是.说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.用心爱心专心[例2]求和：………①解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积设…….②（设制错位）①－②得再利用等比数列的求和公式得：∴注意、1要考虑当公比x为值1时为特殊情况2错位相减时要注意末项[例3]求数列前n项的和.解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积设………………………①……………………②（设制错位）①—②得（错位相减）∴[例4]、设数列为求此数列前项的和。解：①用心爱心专心②①②，当时，当时，[例5]求数列的前项的和。解：两式相减，得所以用心爱心专心[例6]、求和：分析：原式等价于其中，象这种通项公式由等差与等比组成的数列，求它的前n项的和联系课本中等比数列前n项和公式的推导过程，可应用错位相减法.解：令[例7]、求和：解：1、当a=1时，2、当a1时，1用心爱心专心三、裂项相消法若一个数列的每一项都可以化为两项之差，并且前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间项互相抵消，这种数列求和的方法就是裂项相消法。这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.。适用于其中{}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。[例1]求数列{1/(＋)}的前n项和解： 1/(＋)＝－(n＋1－n＝1)分母有理化∴1/(＋)＋1/(＋)＋…＋1/(－)＝－1＋－＋…＋－＝－1说明：对于分母是两二次根式的和，且被开方数是等差数列，利用乘法公式，使分母上的和变成了分子上的差，从而Sn又因中间项相消而可求。[例2]求数列的前项的和。解：因为所以用心爱心专心[例3]，求。解：因为所以[例4]．求数列的前n项和.解：设（裂项）则（裂项求和）＝＝[例5]．在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.解： ∴（裂项）∴数列{bn}的前n项和（裂项求和）用心爱心专心＝＝[例6]：求13，115，135，163之和解：四、倒序相加如果一个数列｛an｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法。这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个。[例1]求证：证明：设……………..①把①式右边倒转过来得（反序）又由可得…………..……..②①+②得（反序相加）∴解析：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的用心爱心专心[例2].求和解析：据组合数性质，将倒序写为以上两式相加得：五、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.若数列的通项公式为，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般利用分组结合法。[例1]求数列的前n项和：，…解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a＝1时，＝（分组求和）当时...