专题二——利用导数研究函数的性质2009-2-24高考趋势导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大．常利用导数研究函数的性质，主要是利用导数求函数的单调区间、求函数的极值和最值，这些内容都是近年来高考的重点和难点，大多数试题以解答题的形式出现，通常是整个试卷的压轴题。试题主要先判断或证明函数的单调区间，其次求函数的极值和最值，有时涉及用函数的单调性对不等式进行证明。考点展示1.二次函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则图象的顶点在第一象限2．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则2；函数在处的导数-2．3.曲线在点处的切线的倾斜角为45°4.设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则15.设，若函数，有大于零的极值点，则a的取值范围6.已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有，则的最小值为2．7.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则__32__8.过点P（2，8）作曲线的切线，则切线方程为_12x-y-16=0或3x-y+2=0样题剖析例1、设函数为实数。（Ⅰ）已知函数在处取得极值，求的值；（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。解:(1)，由于函数在时取得极值，所以即(2)方法一：由题设知：对任意都成立即对任意都成立设,则对任意，为单调递增函数所以对任意，恒成立的充分必要条件是即，于是的取值范围是方法二：由题设知：对任意都成立即对任意都成立于是对任意都成立，即于是的取值范围是点评：函数在某点处取得极值，则在这点处的导数为0，反过来，函数的导数在某点的值为0，则在函数这点处取得极值。变式1.若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，变式2.已知函数，（为常数）．则对所有实数成立的充分必要条件（用表示）为用心爱心专心2BCAyx1O34561234（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于（对所有实数）这又等价于，即对所有实数均成立.（*）由于的最大值为，故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件变式3.函数对于总有成立，则=4．解：若，则不论取何值，显然成立；当即时，可化为，设，则，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而；当即时，可化为，在区间上单调递增，因此，从而，综上例2、如图，等腰梯形ABCD三边AB，BC，CD分别与函数的图像切于点P，Q，R，求梯形ABCD面积的最小值解：设P的坐标，利用基本不等式得，最小值为变式：设函数，曲线在点处的切线方程为。（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值。解：（１）方程可化为，当时，；又，于是，解得，故（２）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为，即令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；所以点处的切线与直线所围成的三角形面积为；故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形面积为定值，此定值为６；用心爱心专心YXAPBRDOCQ总结提炼1.要掌握求函数的极值的一般步骤，利用导数研究函数的单调性，另外要熟记常见函数的导数公式以及和、差、乘积和商的导数公式2.曲线上某点处的切线与过某点的切线之间是有区别的3.切线的几何意义比较明显，解题时，应多结合图形，图形可以帮助确定解题方向，也可以帮助及时找出错误。自我测试1.过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为(1,e)2.直线是曲线的一条切线，则实数．3.已知函数,R满足，且在R上的导数满足，则不等式的解集为____.（构造函数）4.一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是5米/秒．5.母线长为1的圆锥体积最大时，圆锥的高等于6.半径为r的圆的面积S(r)＝r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(r2)`＝2r，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于的式子：，式可以用语言叙述为：．解：V球＝，又故式可填，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数．”（本题考查类比的思想方法，本题属于中等题）7.已知函数的图象在x=2处的切线互相平行.（1）求t的...
