高三数学导数的综合应用；极限；复数人教版（理）【本讲教育信息】一.教学内容：导数的综合应用；极限；复数二.本周教学重难点：1.理解可能函数的单调性与其导数关系，会求函数的极值，最值2.掌握数列，函数极限的运算法则，会求数列函数极限，了解连续的意义3.了解复数的有关概念，能进行加、减、乘、除运算【典型例题】[例1]已知a为实数，若在和上都递增，求的取值范围。解：令，即∴①设∴∴当时，当时，∴②设∴∴当时，当时，∴由①②知：[例2]（且）在上是减函数，求的取值范围。解：令，或 ∴∴ ∴[例3]已知，函数（1）当为何值时，取得最小值？证明你的结论。（2）设在上是单调函数，求的取值范围。解析：（1）对函数求导数，得令，得用心爱心专心从而解得，，其中当变化时，、的变化如下表：x+0－0+↗极大值↘极小值↗当在处取到极大值，在处取到极小值。当时，，，在上为减函数，在上为增函数。而当时，；当时，，所以当时，取得最小值。（2）当时，在上为单调函数的充要条件是，即，解得综上，在上为单调函数的充分必要条件为，即的取值范围是。[例4]已知，，若，且存在单调递减区间，求的范围。解：时，令，即有解即可∴ ∴（*）设，∴ ∴ （*）有解即可∴当时， ∴不可能小于0∴又 ∴且[例5]把边长为60cm的正方形铁皮的四角切成边长为xcm的相等的正方形，然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数，问x取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？用心爱心专心解：设长方体高为xcm，则底面边长为长方体容积 ∴，即函数定义域为令，解得，（不合题意舍去），于是x（0，10）10（10，30）+0－↗↘①当即时，在时，取得最大值为②当即时，在时，取得最大值[例6]已知，求。解： ∴为方程的根，又∴∴，[例7]是否存在常数使等式对一切正整数成立？证明你的结论。解：分别将代入∴下面用数学归纳法证明（1）当时，成立（2）假设时等式成立当时，左由（1）（2）知等式对一切成立用心爱心专心[例8]m取何实数时，复数是实数？是虚数？是纯虚数？解：①为实数∴②为虚数∴且③为纯虚数∴或【模拟试题】一.选择题1.已知，函数在上是单调增函数，则的最大值是（）A.0B.1C.2D.32.已知曲线过点，则这一曲线在该点的切线方程是（）A.B.C.D.3.已知（m为常数）在上有最大值6，那么此函数在上的最小值为（）A.–34B.-29C.-5D.-114.函数，其中为实数，当时，（）A.是增函数B.是减函数C.是常数函数D.既不是增函数也不是减函数5.已知函数，则（）A.极大值为5，极小值为B.极大值为5，极小值为C.极大值为5，无极小值D.极小值为，无极大值6.函数的极值点是（）A.B.C.或D.7.观察函数：①；②；③；④。当时极限值为1的是（）A.①③B.②③C.③④D.①④8.等于（）A.B.C.D.二.解析题1.已知函数。（1）若在实数集R上单调递增，求实数的取值范围。（2）是否存在实数，使在上单调递减？若存在，求出的取值范围；若不用心爱心专心存在，请说明理由。（3）证明的图象不可能总在直线的上方。2.已知，求的单调区间。3.某厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为2500元，已知每年生产x件这样的产品需要再增加可变成本（元），若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？用心爱心专心试题答案一.1.D解析：，因为在上单调递增，所以，即，故。2.B解析： 曲线过点∴又∴ ∴切线方程为∴选B3.A解析：由得或2 ，，显然∴，最小值为4.A解析：，其判别式∴时恒有成立∴为增函数5.C解析：令，得或 ∴当时，而当时，∴为的极大值点当时，6.D解析：由，得或当时，；时，∴不是极值点，同理也不是的极值点，为的极值点，故选D。7.D解析：经计算：①的极限为1，②的极限为0，③的极限为，④的极限为1，所以选D8.B解析： ∴二.1.解析：（1）由已知 在上是单调增函数∴在上恒成立，即对恒成立 ∴只需用心爱心专心又时，，在R上是增函数∴（2）由在上恒成立得，恒成立 ∴∴只需当时，，在上，即在上为减函数∴故存在实数，使在上单调递减（3）证明 ∴的图象不可能总在直线上方2.解析：（1）当时，若，...
