高三数学导数的应用一周强化华东师大版VIP专享VIP免费

导数的应用一周强化一、一周知识概述导数的应用主要涉及利用导数探讨函数的增减性、求函数的单调区间、求函数的极大（小）值和最大（小）值、利用导数证明不等式。二、重点知识归纳及讲解1、函数的单调性（1）设函数在某个区间内可导，若，则为增函数；若，则为减函数。若f（x）是增函数，则（x）≥0；若f（x）为减函数，则（x）≤0。（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法①确定函数的定义区间。②求，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根。③把函数的间断点〔即包括的无定义点〕的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间。④确定在各小开区间内的符号，根据的符号判定函数在每个相应小开区间内的增减性。2、可导函数的极值（1）极值的概念设函数在点附近有定义，且若对附近所有的点都有f（x）＜f（x0）（或f（x）＞f（x0）），则称f（x0）为函数的一个极大（小）值，称x0为极大（小）值点。用心爱心专心（2）求可导函数极值的步骤。①求导数；②求方程的根。③检验在方程的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值。可导函数在极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点。如果在处连续，在两侧的导数异号，那么点是函数的极值点。3、函数的最大值与最小值（1）设是定义在区间［a，b］上的函数，在（a，b）内有导数，求函数在［a，b］上的最大值与最小值，可分两步进行。①求在（a，b）内的极值。②将在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。（2）若函数f（x）在［a，b］上单调递增，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值；若函数f（a）在［a，b］上单调递减，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值。例1、（1）设f（x）=x3－3ax2＋2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间。分析：由已知x=1处有极小值－1，点（1，－1）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b。解：，用心爱心专心由题意知即解之得a=，b=－。此时f(x)=x3－x2－x，（x）=3x2－2x－1=3（x＋）（x－1）．当（x）>0时，x>1或x<－，当（x）<0时，－1，即a>2时，函数f（x）在（－∞，1）上为增函数，在（1，a－1）上为减函数，在（a－1，＋∞）上为增函数。依题意，当x∈（1，4）时，（x）<0，当x∈（6，＋∞）时，（x）>0，∴4≤a－1≤6，∴5≤a≤7，∴a的取值范围为［5，7］。评述：若本题是“函数f（x）在（1，4）上为减函数，在（4，＋∞）上为增函数。”我们便知x=4两侧使函数（x）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题。例2、已知函数f(x)=－x2＋8x，g(x)=6lnx＋m。①求f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值h(t)；②是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由。解：①f(x)=－x2＋8x=－(x－4)2＋16，当t＋1<4，即t<3时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，h(t)=f(t＋1)=－(t＋1)2＋8(t＋1)=－t2＋6t＋7；当t≤4≤t＋1时，即3≤t≤4...