定积分的概念一周强化一、一周知识概述在学习了导数的概念后，需要求其逆问题：求一个未知函数，使其导函数恰好是某一已知的函数，这种逆问题不仅是数学理论本身的需要，而且还因为它出现在许多实际问题之中，如在推导球的体积公式，球的表面积公式等都运用到积分的数学思想．求积分从极限的角度来讲可分为四个基本步骤：等分、近似代替、取和、求极限．二、重点知识讲解1、定积分的概念设函数f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续曲线，用n－1个等分点xi(i=2，3，…，n－1，n)把区间[a，b]等分成n个小区间，令x1=a，那么a=x1b时，规定：;当a=b时，规定：．2、定积分的计算(1)定义法定积分定义是求定积分的一种方法，即按下列四个步骤进行计算：等分→近似代替→取和→求极限．局限性：这种方法要计算一个和式的极限，而求和与求极限一般都要经过复杂的计算，有时甚至不可能直接算出结果．用心爱心专心(2)公式法（牛顿——莱布尼茨公式）①设f(x)为定义在区间I上的一个函数，如果存在函数F(x)，在区间I上任何一点x处，都有F′(x)=f(x)，那么F(x)叫做函数f(x)在区间I上的一个原函数．说明：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么对任意常数C，都有：[F(x)＋C]′=F′(x)=f(x)，即f(x)的原函数有无数个且与F(x)相差一个常数．②牛顿——莱布尼茨公式如果F(x)是函数f(x)在区间[a，b]上的一个原函数，即F′(x)=f(x)，则有，简记为：．3、定积分的性质4、基本定积分公式用心爱心专心例1、求由曲线、x轴、直线x=1以及直线x=3所围成的曲边梯形的面积．解：方法一：将区间[1，3]分成n等分，那么每个小区间的长度为．各等分点的横坐标依次为．设x1=1，则第i个小矩形的底边长度为，高为．方法二：由牛顿——莱布尼兹公式有：．例2、求下列定积分．用心爱心专心例3、函数y=f(x)的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在[a，b]上的面积，则函数y=sin(3x－π)＋1在上的面积为_________．三、难点剖析定积分概念的理解是本讲的重点也是本讲的难点．定积分概念中，体现了“以直代曲”、“化整为零”、“积零为整”等微积分基本思想．下面通过一例说明该思想的体现．如：用心爱心专心例、求函数y=2x＋1与直线x=0，x=1及x轴围成的图形面积．解：作出函数y=2x＋1与直线x=0，x=1及x轴围成的图形如图．如图可知即求梯形面积S=(|OA|＋|OB|)·|OC|．又|OA|=f(0)=1，|OB|=f(1)=3，|OC|=1－0=1，∴S=(1＋3)×1=2．但是将函数换成，此时图形非梯形而是曲边梯形，故可采用“以直代曲”、“化整为零”、“积零为整”的思想来处理．如图：先将区间[0，1]分成n等分，那么每个小区间的长度为．各等分点的横坐标依次为用心爱心专心-返回-用心爱心专心
