高三数学奥赛提升训练题（3）VIP免费

高三数学奥赛提升训练题（3）1.已知定义域为R的二次函数的最小值为0且有，直线被的图像截得的弦长为，数列满足，。（1）函数；（2）求数列的通项公式；（3）设，求数列的最值及相应的n解：（I）设01)(2axaxf，则直线与)(xfy图象的两个交点为（1，0），017416422aaa（II）数列是首项为1，公比为的等比数列……（9分）（III）2211133333434444nnnn令则，的值分别为……，经比较距最近，∴当时，有最小值是，当时，有最大值是0。……（14分）2.已知函数3225fxxaxx．（1）若函数fx（）在（23，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，求实数a的值；（2）是否存在正整数a，使得fx（）在（13，12）上既不是单调递增函数也不是单调递减函数？若存在，试求出a的值，若不存在，请说明理由．解（1）∵3225fxxaxx在（23，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，∴f′（x）＝3x2＋2ax－2，……………………………………………………………2分f′（1）＝0，∴a＝－12．………………………………………………………………6分（2）令f′（x）＝3x2＋2ax－2＝0．∵△＝4a2＋24＞0，∴方程有两个实根，………………………………………………8分分别记为x1，x2．由于x1·x2＝－23，说明x1，x2一正一负，即在（23，1）内方程f′（x）＝0不可能有两个解．…………………………………10分故要使得fx（）在（13，12）上既不是单调增函数也不是单调减函数的充要条件是f′（13）·f′（12）＜0，即（13＋23a－2）（34＋a－2）＜0．…………………13分解得5542a．…………………………………………………………………………15分∵a是正整数，∴a＝2．…………………………………………………………………16分3.已知函数(),fxaxb当11[,]xab时，()fx的值域为[22ba，]，当x[22ba，]时，()fx的值域为[33ba，]，…，当],[11nnbax时，()fx的值域为],[nnba，其中a，b为常数，01a，11b。（I）1a时，求数列}{na与}{nb的通项；（II）设0a且1a，若数列}{nb是公比不为1的等比数列，求b的值；（III）若0a，设}{na与}{nb的前n项和分别记为nS与nT，求：)()(2121nnSSSTTT的值。解：（I）解：1,a函数()fxaxb在R上是增函数，1111,,(2).nnnnnnaaababbabbbbn数列{}na与{}nb都是公差为b的等差数列。…………2分110,1,(1),1(1).nnabanbbnb…………4分（II）解：1110,,nnnnnbbababbabb；由{}nb是等比数列，知1nbb应为常数.又{}nb是公比不为1的等比数列，则1nb不是常数，必有0.b………………6分（III）解：110,,,nnnnaaaabbabb两式相减，得11(),nnnnbaaba数列nnab是公比为a的等比数列111().nnnbaaba………………8分12121122()()()()()nnnnnnTSbbbaaabababa(1)1(0,1)1nnaaaaa………………12分11121122()()()()()nnnnTTTSSSTSTSTS12(1)(1)2(1)(1)(1)nnnaananaa……………………14分