高三数学奥赛提升训练题（2）VIP免费

高三数学奥赛提升训练题（2）1.已知数列}{na的前n项和为Sn，a1=1，Sn=4an+Sn－1－an－1（*2Nnn且）.（1）求证：数列}{na是等比数列；（2）若bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn=b1+b2+…+bn；（3）若cn=)0](lg)lg3(lg[1tatntnn，且数列{cn}中的每一项总小于它后面的项，求实数t的取值范围.[解析]（1）*),2(3134111111NnnaaaaSSaaSaSnnnnnnnnnn，∴{an}是以31为公比的等比数列…………4分（2）由（1）知1)31(nna，∴1)31(nnb∴12333321nnnT∴nnnnnT33132313112∴311)31(1331313113212nnnnnTnnnnn)31()31(212331∴nnnnT)31(23)31(43491…………8分（3）tnttnntatntcnnnnnnlg])31lg(lg3lg[]lg)lg3(lg[1由题意知),2,1(01nccnn恒成立，即.0])1)[((lglglg)1(11nnnnntntnttntttncc对任意自然数n恒成立。 t>0,∴tn>0。①若t>1，则lgt>0，且0)1(01ntnt21111tttnttn，恒成立对任意，∴t>1……10分②若t=1，lgt=0不合题意…………11分③若01.…………14分2.已知函数2()1fxxx，,是方程f(x)=0的两个根()，'()fx是f(x)的导数；设11a，1()'()nnnnfaaafa（n=1,2,……）（1）求,的值；（2）证明：对任意的正整数n，都有na>a；（3）记lnnnnabaa（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。解析：（1） 2()1fxxx，,是方程f(x)=0的两个根()，∴1515,22；（2）'()21fxx，21115(21)(21)12442121nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa=5114(21)4212nnaa， 11a，∴有基本不等式可知25102a（当且仅当1512a时取等号），∴25102a同，样3512a，……，512na（n=1,2,……），（3）1()()(1)2121nnnnnnnnaaaaaaaa，而1，即1，21()21nnnaaa，同理21()21nnnaaa，12nnbb，又113535lnln2ln1235b352(21)ln2nnS3.某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元.（Ⅰ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（Ⅱ）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=)(xf的表达式；（Ⅲ）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本）解：（Ⅰ）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则55002.051601000x，因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元，（Ⅱ）当时，当时，550100601000xPx，5062)100(02.060xxP当,51550Px时，所以)550(51).)(550100(5062)1000(60)(xNxxxxxfP（Ⅲ）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则).()500100(5022)1000(20)40(2NxxxxxxxPL当x=500时，L=6000；当x=1000时，L=11000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元.4.已知函数)0(|11|)(xxxf，.（Ⅰ）当1)()(0abbfafba，求证，且；（Ⅱ）是否存在实数)(,baba使得函数y=)(xf的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值；若不存在，请说明理由.（Ⅰ）解： 1,1110,11|11|)(xxxxxxf故]1,0()(在xf上是减函数，而在),1(上是增函数，由,211111110)()(0babababfafba，即，和得，且而.112112...