北京八中2016届高三数学（理科）复习导数作业5导数的应用（4）1．已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围．2．已知函数，且，求及函数的极大值与极小值．3．已知函数，．（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）当，且时，证明：．导数作业5答案——导数的应用（4）1．已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围．1解：（Ⅰ）当时，函数，．，曲线在点处的切线的斜率为．从而曲线在点处的切线方程为，即．（Ⅱ）．令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立.由题意＞0，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，只需，即，∴在内为增函数，正实数的取值范围是.2．已知函数，且，求及函数的极大值与极小值．解：由题设知令当时，随的变化，与的变化如下：02+0-0+递增极大递减极小递增，当时，随的变化，与的变化如下：-0+0-递减极小递增极大递减，综上，当时，，；当时，，3．已知函数，．（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）当，且时，证明：．解：（Ⅰ）函数的定义域为，．又曲线在点处的切线与直线垂直，所以，即．（Ⅱ）由于．当时，对于，有在定义域上恒成立，即在上是增函数．3当时，由，得．当时，，单调递增；当时，，单调递减．（Ⅲ）当时，．令．．当时，，在单调递减．又，所以在恒为负．所以当时，．即．故当，且时，成立．4
