高三数学备考练习：第二讲三个重要的不等式 旧人教版VIP专享VIP免费

高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第二讲三个不重要的不等式》主编：贾广素10第二讲三个重要的不等式数学竞赛与自主招生中，不等式问题常常有平均值不等式，柯西不等式各排序不等式的背景，而这3个不等式的直接应用又构成不等式证明的重要题型.一．平均值不等式设12,,,naaa中n个正实数，1212nnnaaaaaan.当且12naaa时取等号.这个不等式有很多证法，其中一个比较简单的证明方法就是使用数学归纳法.后面作为排序不等式的应用，我们还会给出另外的一个证法.1.二维平均值不等式的变形二维平均值不等式又称为基本不等式，它的基本形式是下面的第（1）（2）式，接着可以有很多变形，每一个变形都很有用处.（1）对于实数,,ab有222abab；（2）对于正实数,ab，有;2abab（3）对于0b，有22;aabb（4）对20,ab有221;abab（5）对于实数,ab，有()();aabbab（6）对0a，有12;aa（7）对0a，有111;aa（8）对实数,ax，有222;xaxa（9）对实数,ab及0，有22221().2baba其中第（3）已在上一讲例3中用过.例1.（2007年广西预赛）若点P（x，y）在直线x+3y=3上移动，则函数f（x，y）=yx93的最小值等于（）（A）51)427(5（B）71)927(7（C）71)916(7（D）31)25(3解：322(1)2333()39393333xxxxyxxxfx高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第二讲三个不重要的不等式》主编：贾广素1122222211111133333351111333335333332222xxxxxxxxxx=5153)427(53415，等号当且仅当xx3213321，即)2log1(533x时成立，故f（x，y）的最小值是51)427(5.探究1：（2007年广西预赛）设a1，a2，…，a2007均为正实数，且21212121200721aaa，则200721aaa的最小值是.例2．已知0,0,0,1abcabc，试证：3331113.2()()()abcbcacab证明：由2(0)4xyxyy，知2321()11111(),114()()bcaabcabcabcbc同理，231()11111(),114()bbacbcaac231()11111().114()ccabcabab三式相加，得3333111111131113().222()()()abcabcabcbcacab本例连续使用了平均值不等式.探究2：（2007年广西预赛）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足abc=).1)(1)(1(2cba（1）是否存在边长均为整数的△ABC？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由.（2）若a＞1，b＞1，c＞1，求出△ABC周长的最小值.高考资源网www.ks5u.com奥林匹克与自主招生《第二讲三个不重要的不等式》主编：贾广素122.n维平均值不等式的配项技巧有时候，题目中未给出明显构成平均值的n个正数，需要作拆项、添项等处理.例3．（2009年浙江预赛）设(1,2,,2010)ixRi且2010200911.iix试求20082010200911iiixx的最小值，并证明你的结论.解：由于20082010200911iiixx2009201020091.(1)iiiixxx令2009(1)iiiyxx，则对任意的12010i，有2009200920092009200920092010201020092009(1)1112009(2009)(1)()().20092009201020092010iiiiixxyxx即有12010200920102009200912009(())2009(2010)20092010iy，从而有2010200920091(2010)20102010.20092009iy由于2010200911.iix所以20082010200911iiixx2009201020091(1)iiiixxx200920102010.2009上式成立的充要条件是2009200920091iixx，即200912010ix，12010i因此，20082010200911iiixx的最小值是200920102010.2009探究3：（2006年山西预赛）设a,b,c∈(1,+∞)，证明：2(baablog+cbbclog+accalog)≥cba9.例4．设12,,,nxxx为正数，求证：321121nnnxxxxxxxx112231()()()().nnnnnnnxxxxxxxx证明：33222134134111[()()()1]nnnnnnxxxxxxxxxxxnxxx同理，33341412451245211[()()()1]nnnnnxxxxxxxxxxxxxnxxx……1112231[()()()1]nnnnnnnxxxxxnxxx1112121...