圆锥曲线综合题1．（本题满分12分）已知①点P（x，y）的轨迹C的方程；②若直线与曲线C交于A，B两点，D（0，－1）且有|AD|=|BD|，试求m的值.解：（1）由已知…………2分即，所以P的轨迹方程为……5分（2）设，AB中点E坐标为，消去y得：由韦达定理得：……8分则AB垂直平分线方程为，又点D（－1，0）在AB的垂直平分线上，代入方程得……11分（注：也可由DE的斜率为，解得由与双曲线C相交，符合题意，所以（若计算△>0，得m2>26）…………12分2．（本题满分12分）已知双曲线的离心率e=2，A，B为双曲线上两点，线段AB的垂直平分线为①求双曲线C经过二、四象限的渐近线的倾斜角②试判断在椭圆C的长轴上是否存在一定点N（a，0），使椭圆上的动点M满足的最小值为3，若存在求出所有可能的a值，若不存在说明理由.3．①解由e=2，得…………1分所以双曲线C经过二、四象限的渐近线的倾斜角为……2分用心爱心专心②设，B（），D代入双曲线方程相减得…………4分∴…………6分将AB的方程………………8分由|AB|=，计算得所以双曲线C的方程为…………12分4．（本题满分12分）已知椭圆C的两个焦点为F1（－3，0），F2（3，0），点M是椭圆C上的动点，且|MF1|·|MF2|的最大值为25。①求椭圆C的方程；②已知有一定点N（2，0），求||的最小值.①由…………3分得椭圆方程为………………5分②…………8分a）当（由舍）b）当，即c）同理当时，可求得a=－2或a=－8（舍）综上………………12分5．（本题满分14分）过抛物线L：的焦点F的直线l交此抛物线于A、B两点，①求；用心爱心专心②记坐标原点为O，求△OAB的重心G的轨迹方程.③点为抛物线L上一定点，M、N为抛物线上两个动点，且满足，当点M、N在抛物线上运动时，证明直线MN过定点.①解：由F（1，0），设直线l的方程为联立得……2分由…………4分②设…………5分由……7分化简得轨迹方程为…………9分③证明：由直线MN的方程不可能与x轴平行可设直线MN的方程为分别相减得由，∴即（*式）…………11分联立有，所以，代入直线MN的方程有用心爱心专心6（本题满分14分）已知椭圆C：的离心率为，F为椭圆在x轴正半轴上的焦点，M、N两点在椭圆C上，且，定点A（－4，0）.①若当，求椭圆C的方程；②在①的条件下，当M、N两点在椭圆C运动时，试判断是否有最大值，若存在求出最大值，并求出这时M、N两点所在直线方程，若不存在，说明理由。22．①设当由M、N两点在椭圆上，∴∴若…………2分不妨设又∴，得椭圆C的方程为…………6分②，设直线MN的方程为联立∴………………8分记则∴，当s=4，即k=±1时取等号…………11分用心爱心专心并且当k=0时，，当k不存在时，…………12分综上有最大值，最大值为…………13分此时MN的直线方程为…………14分7．（本小题满分14分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A、B两点.（Ⅰ）若动点M满足（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；（Ⅱ）在x轴上是否存在定点C，使为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.解：由条件知解法一（I）设，得于是AB的中点坐标为当AB不与x轴垂直时，因为A、B两点在双曲线上，所以，两式相减得将当AB与x轴垂直时，，求得M(8,0)，也满足上述方程.故点M的轨迹方程是（Ⅱ）假设在x轴上存在定点C(m,0)，使为常数.当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是代入则x1、x2是上述方程的两个实根，所以于是用心爱心专心因为是与k无关的常数，所以当AB与x轴垂直时，点A、B的坐标可别设为、，此时故在x轴上存在定点C（1，0），使为常数.8．（本题满分13分）已知过点A（－2，0）斜率为k1的直线，与过点B（2，0）斜率为k2的直线交于点C，且（Ⅰ）求点C的轨迹方程；（Ⅱ）设过点P（－4，0）且与点C的轨迹相切于点E的直线为l，l交y轴于点M，若的值.解：（Ⅰ）设点………………2分由题意得整理得………………4分（Ⅱ）由题意知，直线PM斜率存在，设直线PM的方程为代入椭圆方程得：.∵直线与椭圆相切，∴判别式△=32×32k4－4（32+4k2）（64k2－12）=0解得………………8分①当时，由于直线PM的方程为∴点M的坐标是（0，2）由得切点E的坐标为（－1，）………………10分∴∵∴………………11分用心爱心专心②当时，根据椭圆的对称性知，.综上，为所求.………………12分用心爱心专心
